Summe von den Potenzen n^0 bis n^k

Question

Warum ist die Summe von den Potenzen n hoch 0 bis k multipliziert mit n -1 immer n hoch k + 1 minus 1? Als Formel:

(n-1) (n⁰+n¹+n²+ ... +n^k)    =    n^k+1    - 1

Ein Beispiel mit Zahlen: 

5⁰ = 1
5¹ = 5
5² = 25
5³= 125
5⁴=625

Möchte ich jetz die Summe dieser Potenzen berechnen, kann ich einfach 5⁵ (=3125) - 1 rechnen und dies durch 5-1 (=4) teilen. Dann erhalte ich 781, was das gleiche ist wie 1 + 5 + 25 + 125 + 625 = 781. Ich weiß nicht wie dies hergeleitet wird und es wäre nett wenn es mir jemand erklären kann.

Answer 1

Löse die Klammern auf 

(n-1) (1+n¹+n²+ ... +n^k)

= n + n^1 + n^3 + n^3 + .... + n^{k+1} - 1 - n¹-n²- ... -n^k 

Nun bleiben wegen der + und - nur die beiden roten Summanden übrig.