Trigonometrische Funktion lösen

Question

ich habe die folgende  trigonometrische Funktion: cos(2x)=cot(x)-1 wie kann ich die Lösungen berechnen? Also ich kann sie irgendwie nur mehr oder weniger raten indem ich die Funktion etwas umwandel und überlege wann beide Seiten gleich sind z.B. cos(2x)=(cos(x)/sin(x))-1

dadurch kann man erkennen, dass die Lösungen Pi/2 oder Pi/4  sein müssen, aber das kann man doch bestimmt irgendwie berechnen oder?

Answer 1

COS(2·x) = COT(x) - 1

2·COS(x)^2 - 1 = COS(x) / SIN(x) - 1

2·COS(x)^2 - COS(x) / SIN(x) = 0

COS(x)·(2·COS(x) - 1 / SIN(x)) = 0

COS(x)·(2·SIN(x)·COS(x) - 1) = 0

COS(x)·(SIN(2·x) - 1) = 0

Satz vom Nullprodukt

2·COS(x) = 1 / SIN(x)

COS(x) = 0 --> pi/2 + k·pi

SIN(2·x) = 1 --> x = pi/4 + k·pi

Comments

Ok, cos(2x)=2*(cos(x)^2)-1... schon wieder was gelernt^^. Danke :)

Answer 2

Man kann auch noch cos(2x) mit Hilfe einer Formelsammlung ersetzen.

Comments

Jaaa, das habe ich auch schon versucht. hätte ich vielleicht erwähnen sollen.

cos(2x)=cot(x)-1

(cos(x)^2-(sin(x))^2=(cos(x)/sin(x))-1

1-(sin(x))^2-(sin(x))^2=(cos(x)/sin(x))-1

1-2*(sin(x))^2=(cos(x)/sin(x))-1

1-2*(1-(cos(x))^2)=(cos(x)/sin(x))-1

1-2+2*(cos(x))^2=(cos(x)/sin(x))-1

2*(cos(x))^2=(cos(x)/sin(x))

2*cos(x)=1/sin(x)

2*cos(x)*sin(x)=1

sin(2x)=1

x=(arcsin(1))/2

x=45° oder x=Pi/4

aber nicht Pi/2 und das muss doch auch ein Ergebnis sein oder? oder habe ich irgendeinen peinlichen Fehler begangen?

---

Bis hierher ist alles richtig: 1-2*(sin(x))²=(cos(x)/sin(x))-1 auf beiden Seiten +1

2-2*(sin(x))²=(cos(x)/sin(x)) links 2 ausklammern und 1 - (sin(x))²=cos²(x) setzen

2·cos²(x)=(cos(x)/sin(x)) jetzt sin(x)=√(1-cos²(x)) setzen und dann cos²(x)=u  setzen

Dann sollte es klappen.

---

Dadurch kam ich irgendwie wieder nur auf Pi/4, aber trotzdem danke für die Hilfe.