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Mir ist klar, dass sie eine Basis bilden...Ich hänge nur an dem letzten Schritt..Bild Mathematik

von

3 Antworten

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Deine letzten zwei Zeilen sind ein lineares Gleichungssystem mit den Unbekannten λ1 und λ2. Loese es.

von
Dann habe ich
λ1=y/3       λ2=x-2*(y/3)
fertig?

Du musst das Ergebnis noch interpretieren. Daraus, dass es für alle (x, y) eine Lösung gibt, folgt, dass {v, w} ein Erzeugendensystem ist. Aus der Eindeutigkeit der Lösung folgt, dass {v, w} eine Basis ist. Warum?

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Für zwei Vektoren  \(\vec{v}\) und \(\vec{w}\) aus ℝ2 ist  {\(\vec{v}\) \(\vec{w}\)}  genau dann linear unabhängig und damit eine Basis von ℝ2, wenn sich mit r,s ∈ ℝ aus der Darstellung

r * \(\vec{v}\) + s * \(\vec{w}\) = \(\vec{0}\)  zwingend  r = s = 0  ergibt: 

r * \(\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) + s * \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)

→  für die einzelnen Koordinaten:

2r + s = 0   

3r = 0    →  r = 0

r in G1 eingesetzt  →  s = 0

Gruß Wolfgang

von 85 k 🚀
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Noch eine Möglichkeit: Für r=1/3 uns s=-2/3 ist r(2;3)+s(1;0)= (0;1). Damit sind die Einheitsvektoren in Richtung der Achsen geschaffen.

von 103 k 🚀

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