LGS Parameter so dass unendlich viele, genau eine, keine Lösung?

Question

ich komme für a auf 2 und -1 und nicht auf -2 und 2.

Außerdem versteh ich nicht, warum für a=2 es unendlich viele hat, klar weil da eine Nullzeile ist, aber die gibt es auch doch für -1.

Bräuchte mal wieder eure Hilfe:)

6. Übungsblatt zur "Mathematik I für Maschinenbau"
Gruppenübung

Aufgabe G1 (Lineare Gleichungassysteme)
Für welche Werte des Parameters $a \in \mathbb{R}$ hat das folgende lineare Gleichungssystem (i) genau eine Lösung, (ii) unendlich viele Lösungen, (iii) keine Lösung?
Bestimmen Sie die Lösungsmengen für alle drei Fälle. Geben Sie bei der Ausführung des GaußAlgorithmus bitte alle Elementarumformungen an.
$$\begin{array}{l} {x_{1}+x_{2}-\quad x_{3}=2} \\ {x_{1}+2 x_{2}+\quad x_{3}=3} \\ {x_{1}+x_{2}+\left(a^{2}-5\right) x_{3}=a} \end{array}$$
Lösung:
Mit dem Gaußschen Algorithmus erhalten wir
Also
$$\left(\begin{array}{ccc|c} {1} & {1} & {-1} & {2} \\ {1} & {2} & {1} & {3} \\ {1} & {1} & {a^{2}-5} & {a} \end{array}\right) \sim\left(\begin{array}{ccc|c} {1} & {1} & {-1} & {2} \\ {0} & {1} & {2} & {1} \\ {0} & {0} & {a^{2}-4} & {a-2} \end{array}\right)$$
(i) für $a \neq 2$ und $a \neq-2$ hat das LGS eindeutige Lösung:
$$L=\left\{\left(\begin{array}{c} {1+3 \frac{1}{a+2}} \\ {1-2\frac{1}{a+2}}\\ {\frac{1}{a+2}} \end{array}\right)\right\}$$
(ii) für $a=2$
$$\mathrm{L}=\left\{\left(\begin{array}{c} {1+3 \alpha} \\ {1-2 \alpha} \\ {\alpha} \end{array}\right) | \alpha \in \mathbb{R}\right\}$$
(iii) für $a=-2$ ist $L=\varnothing$ 

Answer 1

Hallo like,

letzte Zeile:   0  0   a² - 4  |  a - 2

Für a = - 2       →   0 * x₃  = - 4  →   keine Lösung

Für a = 2:

0 * x₃ = 0      →   x₃  beliebig  →  unendlich viele Lösungen

>  aber die gibt es auch doch für -1.

a = - 1      (analog andere a ≠ ± 2)  

-3 * x₃ = -3  →  x₃ = 1    →  genau eine Lösung

Gruß Wolfgang