Ein Ballon startet um 6 Uhr im Punkt S = [0, 0, 1] (Zahlenangaben in km) und fliegt geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit. Nach 2 Stunden befindet er sich im Punkt P = [12, 13, 3]. Ein Flugzeug befindet sich um 7 Uhr in F = [9, 10, 3] und fliegt geradlinig mit 200 km/h in Richtung v = [3, 3, 0].
a) Bestimme die Geschwindigkeit des Ballons (in km/h).
SP = [12, 13, 3] - [0, 0, 1] = [12, 13, 2]
|[12, 13, 2]| / 2 = 8.902 km/h
b) Bestimme die Koordinaten des Ballons eine halbe Stunde nach dem Start.
[0, 0, 1] + 0.5/2·[12, 13, 2] = [3, 3.25, 1.5]
c) Bestimme, ob sich die Flugbahnen von Flugzeug und Ballon schneiden und gib gegebenenfalls den Schnittpunkt an.
[0, 0, 1] + r·[12, 13, 2] = [9, 10, 3] + s·[3, 3, 0] --> r = 1 ∧ s = 1
S = [0, 0, 1] + 1·[12, 13, 2] = [12, 13, 3]
d) Beurteile, ob es unter den angegebenen Voraussetzungen zu einem Zusammenstoß der beiden Flugobjekte kommen kann.
Der Ballon erreicht nach 2 Stunden also um 8 Uhr den Schnittpunkt
|[3, 3, 0]|/200 = 0.02121 h = 1.273 Minuten
Das Flugzeug erreicht den Schnittpunkt kurz nach 7 Uhr. Es besteht also keine Kollisionsgefahr.
e) Gegeben sind die Geraden g und h:
g: X = [2, -3, 1] + r·[2, 2, -1] ; h: X = [1, -2, 0] + s·[3, x, y]
Ermittle x und y in der Geradengleichung von h so, dass h parallel zu g ist.
r·[2, 2, -1] = [3, x, y] --> x = 3 ∧ y = -1.5 ∧ r = 1.5
