Extremstellen einer zusammengesetzten Logarithmusfunktion bestimmen

Question

Gegen ist die Funtkion f(x)=(x²-e*x)*ln(x) - Berechnen Sie die Extrempunkte

Ich habe die erste Ableitung gebildet und folgendes Ergebnis errechnet:

f'(x) = x-e+(2x-e)*ln(x)

Doch wenn ich diese Gleichung gleich null setze, komme ich überhaupt nicht weiter. Es wäre schön, wenn wir jemand helfen könnte.

Answer 1

Die Ableitung ist falsch.

f'(x) = (2x-e^x)*ln x+(x^2-e^x)*1/x = ...

Wenn du das Null setzt, brauchst du ein Näherungsverfahren zur Lösung. Algebraisch geht hier nix.

Comments

Vielen Dank für die rasche Antwort. Ich verstehe nur nicht, wie du auf die Ableitung kommst. Ich hatte mit der Produktregel folgendes Ergebnis:

f'(x)=(x²-ex)*1/x + (2x-e)*ln(x).

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Gast2016  hat e^x [ e "^" x ]   statt  des ungewöhnlichen e*x gelesen.

(vgl.meine Antwort)

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Danke, habe mich verlesen.

Answer 2

Hallo Silvia,

Die Ableitung von  f(x)=(x²-e*x)*ln(x) 

ist  f '(x) =  (2·x - e) ·LN(x) + x - e       (hast du also richtig)

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> Doch wenn ich diese Gleichung gleich null setze, komme ich überhaupt nicht weiter. 

Leider ändert das nichts daran, dass du dann f '(x) = 0 mit einem Näherungsverfahren (z.B. Newtonverfahren) lösen musst, wenn du dir nicht von einem geeigneten Rechner helfen lassen darfst:  

Newtonverfahren:

Näherungslösung der Gleichung f(x) = 0

Ausgehend von einem (möglichst guten) Startwert, den man z.B zwischen zwei x-Werten findet, deren Funktionswerte verschiedenes Vorzeichen haben, findet man immer bessere Werte mit der Formel

x_neu =  x_alt - f(x_alt) / f ' (x_alt)

In unserem Fall müssen wollen wir f '(x) = lösen, müssen also in der Formel  f durch f ' und f ' durch f " ersetzen:

[ f "(x) = 2·LN(x) + (3·x - e) / x ]  

mit Startwert x = 0,5 :

x	f(x)	f '(x)
0,5	-1,027259624	-3,822858018
0,231284913	0,815602164	-11,68116769
0,301106885	0,122720335	-8,42821087
0,315667548	0,003772377	-7,917348592
0,316144018	3,81224E-06	-7,901353847
0,3161445	3,90221E-12	-7,901337673
0,3161445	0	-7,901337673

mit Startwert 1:

x	f(x)	f '(x)
1	-1,718281828	0,281718172
7,099293557	26,8823559	6,537095867
2,987015498	3,831417704	4,278516739
2,091514104	0,454051426	3,176104745
1,948555523	0,016656922	2,939152626
1,94288827	2,80182E-05	2,929258098
1,942878705	8,00298E-11	2,929241364
1,942878705	0	2,929241364

weitere Nullstellen gibt es nicht, was dir das Verfahren aber leider nicht verrät :-)
Wegen D = ℝ⁺  ist aber  f '''(x) = 2/x + e/x^2 > 0  für alle x  →  f '  linksgekrümmt,                                          f ' kann also höchstens 2 Nullstellen haben.
Der Graph von f ' bestätigt die Ergebnisse:

Gruß Wolfgang

Comments

Danke für die ausführliche Erklärung. Mit diesem Thema muss ich mich offenbar noch intensiver befassen.