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Gegen ist die Funtkion f(x)=(x2-e*x)*ln(x) - Berechnen Sie die Extrempunkte

Ich habe die erste Ableitung gebildet und folgendes Ergebnis errechnet:

f'(x) = x-e+(2x-e)*ln(x)

Doch wenn ich diese Gleichung gleich null setze, komme ich überhaupt nicht weiter. Es wäre schön, wenn wir jemand helfen könnte.

von

2 Antworten

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Die Ableitung ist falsch.

f'(x) = (2x-e^x)*ln x+(x^2-e^x)*1/x = ...

Wenn du das Null setzt, brauchst du ein Näherungsverfahren zur Lösung. Algebraisch geht hier nix.
von 29 k

Vielen Dank für die rasche Antwort. Ich verstehe nur nicht, wie du auf die Ableitung kommst. Ich hatte mit der Produktregel folgendes Ergebnis:

f'(x)=(x2-ex)*1/x + (2x-e)*ln(x).

Gast2016  hat e^x [ e "^" x ]   statt  des ungewöhnlichen e*x gelesen.

(vgl.meine Antwort)

Danke, habe mich verlesen.

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Hallo Silvia,

Die Ableitung von  f(x)=(x2-e*x)*ln(x) 

ist  f '(x) =  (2·x - e) ·LN(x) + x - e       (hast du also richtig)

----------------------

Doch wenn ich diese Gleichung gleich null setze, komme ich überhaupt nicht weiter. 

Leider ändert das nichts daran, dass du dann f '(x) = 0 mit einem Näherungsverfahren (z.B. Newtonverfahren) lösen musst, wenn du dir nicht von einem geeigneten Rechner helfen lassen darfst:  

Newtonverfahren:

Näherungslösung der Gleichung f(x) = 0

Ausgehend von einem (möglichst guten) Startwert, den man z.B zwischen zwei x-Werten findet, deren Funktionswerte verschiedenes Vorzeichen haben, findet man immer bessere Werte mit der Formel

xneu =  xalt - f(xalt) / f ' (xalt)

In unserem Fall müssen wollen wir f '(x) = lösen, müssen also in der Formel  f durch f ' und f ' durch f " ersetzen:

[ f "(x) = 2·LN(x) + (3·x - e) / x ]  

mit Startwert x = 0,5 :

xf(x)f '(x)
0,5-1,027259624-3,822858018
0,2312849130,815602164-11,68116769
0,3011068850,122720335-8,42821087
0,3156675480,003772377-7,917348592
0,3161440183,81224E-06-7,901353847
0,31614453,90221E-12-7,901337673
0,31614450-7,901337673

mit Startwert 1:
xf(x)f '(x)
1-1,7182818280,281718172
7,09929355726,88235596,537095867
2,9870154983,8314177044,278516739
2,0915141040,4540514263,176104745
1,9485555230,0166569222,939152626
1,942888272,80182E-052,929258098
1,9428787058,00298E-112,929241364
1,94287870502,929241364

weitere Nullstellen gibt es nicht, was dir das Verfahren aber leider nicht verrät :-)
Wegen D = ℝ+  ist aber  f '''(x) = 2/x + e/x^2 > 0  für alle x  →  f '  linksgekrümmt,                                          f ' kann also höchstens 2 Nullstellen haben.
Der Graph von f ' bestätigt die Ergebnisse:

Bild Mathematik

Gruß Wolfgang

von 82 k
Danke für die ausführliche Erklärung. Mit diesem Thema muss ich mich offenbar noch intensiver befassen.

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