Wie kann man das dreifache Kreuzprodukt umschreiben?

Question

Gilt: a,b,c ∈ℝ^n

a×b×c=|a|*|b|*|c|*sin(α)

?

Welchen Winkel represäntiert α in diesem Fall?

Comments

a×b×c=|a|*|b|*|c|*sin(α) stimmt in 3D keinem Fall, da dann links ein Vektor und rechts ein Skalar steht. Oder meinst Du mit 'dreifachem Kreuzprodukt' das Spatprodukt?

Ansonsten gilt:

$$a \times (b \times c) = (a\cdot c) \cdot b - (a \cdot b) \cdot c$$

Answer 1

Ganz so einfach wie die der Fragestellung geht es nicht direkt. Es muss ja auf jeden Fall wieder einen Vektor und nicht einfach eine Zahl geben. 

Rechne axbxc aus. 

a×b×c = (a×b)×c   | Formel vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt

                                 | n Normalenvektor auf a und b 

=( (|a|*|b|* sin(theta)) n )xc

=( (|a|*|b|* sin(theta))) n xc  | nochmal angegebene Formel, wobei |n| = 1. 

=(( (|a|*|b|* |sin(theta)| *1*|c| sin(theta2)))) n₂ 

=(( (|a|*|b|* |sin(theta)| *|c| sin(theta2)))) n₂ 

n_(2) steht senkrecht auf n und auf c 

theta2 ist der Winkel zwischen dem Normalenvektor n auf a und b 

und dem Vektor c . 

Nun nachrechnen und schauen, ob du noch eine geometrische Interpretation hinbekommst.