Nullstellen berechnen bei einer Scharfunktion

Question

Die Funktion lautet    f_a(x) = (ax+1)*e^-ax 

Die Nullstellen sollen berechnet werden und mein Ansatz wäre

0 = (ax+1)*e^-ax

0 = axe^-ax+e^-ax

und jetzt bin ich etwas überfordert. Könnte mir jemand eine Hilfe sein?


Grüße

Answer 1

$$ (ax+1)e^{-ax}=0|:e^{-ax}\neq0\\ax+1=0\\x=-1/a $$

Answer 2

Hallo !

Kennst du den Satz vom Nullprodukt schon ?

Der geht in etwa so -->

Wenn in einem Produkt einer der Faktoren Null wird, dann wird das ganze Produkt Null.

Du hast folgende Faktoren -->

(a * x + 1)

und

e ^ (-a * x)

e ^ (-a * x) kann nicht Null werden.

Aber (a * x + 1) kann Null werden -->

a * x + 1 = 0

x = - 1 / a

Das sind die Nullstellen, die von a abhängen.

a darf aber nicht a = 0 sein, weil eine Division durch 0 nicht definiert ist.

Comments

Oh Gott na klar kenn ich den Satz. Ich bin blöd und habe mir das so schwer getan mit ln zu arbeiten aber das scheint ja nicht so schwer zu sein. Vielen Dank !!!

Die Ableitung berechne ich mit der Produktregel stimmts?

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[ ( ax + 1 ) * e^-ax  ] ´

a * e ^{-ax} + ( ax + 1 ) * e ^{-ax} * (-a)

a * e ^{-ax} - ( ax + 1 ) * e ^{-ax} * a

a * e ^{-ax} * ( 1 - ( ax + 1 ) )
a * e ^{-ax} * ( 1 - ax - 1  )
a * e ^{-ax} * ( - ax  )
- a ^2  * x * e ^{-ax}

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Gerne !

Und georgborn hat dir ja auch schon die Ableitung gezeigt, was prima ist.