Funktionen mit mehreren Variabeln

Question

folgendes Problem, ich habe eine Funktion f : R^2 nach R abbildet, f(x1,x2) = 5 * x1 + 2 * x2^2 , nun möchte ich überprüfen ob diese Funktion linear ist. Voraussetzung dafür ist das f(x+y) = f(x)+f(y) gelten muss. Leider brauche ich ein praktisches Bspl. um hier weiter arbeiten zu können weil ich mir nicht genau vorstellen kann was der richtige Weg ist. Ich hab schon einige Ansätze gehabt aber bin der Meinung das die nicht ganz stimmen können z.B. f((x1,x2)+y) = f(x1,x2)+f(y) wäre dementsprechend was gelten sollte beieiner funktion mit mehreren Variabeln, und eingesetzt mit der oben genannten funktion würde dies so aussehen: 5*x1+2*x2^2 = 5*x1+2*x2^2 + 5*y+2*y+2, wie gesagt sehe ich da irgendwie keinen logischen Zusammenhang, ich hatte noch andere Ansätze aber bei denen bin ich mir auch unsicher und würde mich freuen wenn mich jemand des besseren belehren könnte.

Ich bedanke mich schon mal im Voraus.

Comments

Insbesondere müsste ƒ(0,1) + ƒ(0,-1) = ƒ(0,0) gelten, was hier nicht der Fall ist.

Answer 1

eine Funktion f : R² nach R abbildet, f(x1,x2) = 5 * x1 + 2 * x2² , nun möchte ich überprüfen ob diese Funktion linear ist.

Voraussetzung dafür ist,  dass  f(x+y) = f(x)+f(y)

Dabei ist jetzt allerdings dein x sowas wie (x1,x2) und y=(y1,y2)

Also wäre der Ansatz

f( x+y) = f ( (x1,x2) +(y1,y2) )

= f ( x1+y1 , x2+y2) =  5 *( x1+y1)  + 2 * (x2+y2) ²und da siehst du schon, dass es an dem Quadrat scheitert, konkret etwa:

f ( (2;3)+(1;5) = f ( 3;6) = 5*3 + 2*36 = 87

aber

f(2;3) = 5*2 + 2*9 = 28

f(1;5) = 5*1 + 2*25 = 55    aber 28+55 ≠ 87, also nicht linear.

Answer 2

Nur als Tipp, wenn eine Variable als Quadrat vorkommt, ist die Funktion wahrscheinlich nicht linear.