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Aufgabe:

\(h = \frac{\frac{a^{3}}{2}-\frac{a h^{2}}{6}}{a^{2}-\frac{a h}{2}} \)

Aus dem Bruch soll eine quadratische Gleichung entstehen, die mit Hilfe der pq-Formel die Ergebnisse liefert: h_{1} =2,37a und h_{2}=0,63a. Wie kommt man da drauf?

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$$ \frac{\frac{a^{3}}{2}-\frac{a h^{2}}{6}}{a^{2}-\frac{a h}{2}}=h \quad |·(a^2 - \frac{ah}{2})\\ \frac{a^{3}}{2}-\frac{a h^{2}}{b}=h a^{2}-\frac{a}{2} h^{2} \quad |·6 \\ \begin{aligned} 3 a^{3}-a h^{2} &=6 h a^{2}-3 a h^{2} \quad |+a h^{2} \\ 3 a^{3} &=6 h a^{2}-2 a h^{2} \quad |:a(a \neq 0) \\ 3 a^{2} &=6 h a-2 h^{2} \quad |-3 a^{2} \end{aligned} \\ v=-2 h^{2}+6 h a-3 a^{2} \quad | (:2) \text{ für p-q-Formel} \\ \begin{aligned} 0 &=h^{2}-3 h_{a}+\frac{3}{2} a^{2} \\ h_{1} &=\frac{3}{2} a \pm \sqrt{\frac{9}{4} a^{2}-\frac{6}{4} a_{2}} \\ h_{2} &=\frac{3}{2} a \pm \frac{\sqrt{3}}{2} a \\ h_{1} &=\frac{3}{2} a+\frac{\sqrt{3}}{2} a \approx 2,366 a \\ h_{2}=& \frac{3}{2} a-\frac{\sqrt{3}}{2} a \approx 0,63 a \end{aligned} $$

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