Wie zeige ich 0 + n = n nach den Peano-Axiomen?

Question

Zeigen Sie mit Hilfe der Peano-Axiome und der Definition der Addition, dass für alle natürlichen Zahlen n die Gleichung 0 + n = n erfüllt ist. (Hinweis: Benutzen Sie insbesondere das Induktionsaxiom.)

PS: Addition: 1) n+0: = n

                    2) n+s(m): = s(n+m)

Comments

Welches Axiom heisst denn Induktionsaxiom?

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Dasjenige, das behauptet, vollstaendige Induktion funktioniert. :)

Answer 1

Du sollst beweisen, dass die Aussageform $$A(n)\equiv0+n=n$$ für alle $n\in\mathbb{N}$ eine wahre Aussage ist. Das ist natuerlich per vollstaendiger Induktion zu machen. Der Induktionsanfang $A(0)$ ist klar nach Regel 1. Im Induktionsschritt ist zu zeigen, dass aus der Richtigkeit von $A(n)$ für ein fixiertes $n$ die Richtigkeit von $A(s(n))$ folgt. In Kurzfassung: $$0+s(n)\stackrel{\text{Regel 2}}{=}s(0+n)\stackrel{\text{IV}}{=}s(n)$$

Comments

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In der letzten Zeile des Beweises schreibst Du: 0+s(n) = s(0+n). Bis hier hin ist alles klar; wie kommst Du aber darauf, dass s(0+n) = s(n)?

Es ist ja zu zeigen, dass 0+n = n. Daher ist mir nicht klar, wie es „auf einmal“ doch zusammengefasst werden kann.

Könnte mir hier bitte jemand helfen?