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Vollständige Aufgabenstellung:

Sei u ∈ IN . Zeigen Sie, dass für alle k ∈ IN die beiden Zahlen u und (u + 1)^k teilerfremd sind.


Meine Ansätze bisher gehen in folgende Richtung:

ggT((u+1)kk, u)=1 bzw. a*(u+1)k + b*u = 1

Als InduktionsVoraussetzung nehme ich an v=u und es gilt

ggT((v+1)k, v)=1 bzw. a*(v+1)k + b*v = 1 

Ich beweise dann für u=v+1 , also:

ggT(((v+1)+1)k, v)=1 bzw. a*((v+1)+1))k + b*(v+1) = 1 

Damit habe ich die Gleichungen

 1:  a1*(v+1)k + b1*v = 1 

 2:  a2*((v+1)+1))k + b2*(v+1) = 1 

Beide Gleichungen miteinander multipliziert ergeben auch 1


Geht diese Herangehensweise in die richtige Richtung oder hab ich etwas übersehen? Darf ich eigentlich ((v+1)+1)k in (v+2)^k umformen oder spricht etwas dagegen?

von

2 Antworten

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Beste Antwort

u ≡ 0 mod u

u+1≡1 mod u

(u+1)k≡1 mod u

Wenn u in der Kongruenzklasse 0 liegt, dann liegt (u+1)k in der Kongruenzlasse 1.

von 103 k 🚀
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Wie waere es mit \(\operatorname{ggT}((u+1)^k,u)=\operatorname{ggT}(u, (u+1)^k\operatorname{mod}u)\) und der Binomialformel?

von

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