doppelte Wurzel integrieren (Stammfunktion) ((x^0.5)+1)^0.5

Question

Folgendes Problem: wie integriere ich eine doppelte Wurzel, wobei unter der Wurzel eine Summe ist?

∫√(√x + 1)dx

Durch Substitution habe ich u=√x +1 dann bekomme ich x=u²-1. Wie mache ich  das mit der zweiten Wurzel? Und wie fasse ich das Ganze dann zusammen?

Answer 1

Hallo start,

substituiere  z = √x + 1   →  dz/dx = 1/(2*√x)  →  dx = 2 *√x * dz

∫√(√x + 1) dx   =  ∫  √(z) *  2 *√x  dz 

=  2 * ∫  √(z)  (z -1)  dz  =  2 * ∫  (z^3/2 - z^1/2 )          [ z = √x + 1 → √x = z-1 ]  

= 2 * ( 2/5 * z^5/2 - 2/3 * z^3/2)  + c

= 4/5 *  z^5/2 - 4/3 * z^3/2  +  c  

= 4/5 * ( √x + 1 )^5/2 - 4/3 * (√x + 1)^3/2 + c  

Gruß Wolfgang

Answer 2

Substituiere  u=√x +1  dann ist du/dx = 1 / ( 2√x)   und  √x =  u-1

Dann hast du         ∫ √u * 2√x  du 

=    ∫ √u * (2u-2)  du   

und das geht ja .

Comments

Danke für deine Antwort, aber ich versteh den Schritt nicht in deiner zweiten bzw. dritten Zeile. Wärst du so nett und würdest mir diese ausschreiben?

Danke nochmals