Zeige, dass dim V= m-1

Question

habe folgende Aufgabe, bei der ich gewisse Ansätze habe, aber nicht weiterkomme.

Sei u ∈ R^m und V = {v ∈ R^m: ⟨u,v⟩= 0}

 Zeige, dass dim V = m − 1, falls u  ≠ 0 

Der  erste Ansatz war Induktion .

Der zweite Ansatz ist , eine Basis von Vektorraum V zu bestimmen und dann die dim V somit zu erhalten. Jedoch wie kann ich eine Basis von V hier konkret  bestimmen?

Liege ich da auf der richtigen Spur oder hat es eine andere Möglichkeit dies zu zeigen?

Answer 1

Da u ≠ 0 ist, kannst du u durch  m-1 weitere Vektoren aus v

zu einer orthogonalen Basis von R^m ergänzen.


Diese m-1 Vektoren bilden eine Basis von  V.

Answer 2

\(\langle u,v\rangle=u^tv\) und \(\operatorname{Rang}u^t=1\), da \(u\ne0\). Ergibt mit der Dimensionsformel \(\dim V=\dim\operatorname{Kern}\,\langle u,\cdot\rangle=m-1\).