Komplexe Differenzierbarkeit und mehr

Question

Ich habe Probleme bei einigen meiner Aufgaben:

A1)

Bestimme $$(\frac{1}{\sqrt(2)} +\frac{i}{\sqrt(2)})^{n} ,n\in \mathbb{Z}$$

Ich habe die komplexe Zahl in die Polardarstellung umgewandelt:

$$z = |z|*e^{i*\phi}$$

$$z = (1*e^{i*\frac{\pi}{4}})^{n} = 1*e^{i*n*\frac{\pi}{4}}$$

Was meint ihr, reicht das so oder muss ich wirklich sagen, was da rauskommt, wei z.B.

iⁿ =1 für n=k*4, k aus den ganzen Zahlen

iⁿ =i für n=k*4+1, k aus den ganzen Zahlen und so weiter...

A2)

Binomischen Lehrsatz verwenden um komplexe Differenzierbarkeit von z -> zⁿ zu zeigen.

Eine Funktion ist im Punkt z kompl. diff´bar, wenn der folgende Grenzwert existiert:

$$\lim_{h\to0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}$$

Hier ist ja f(z)=zⁿ, eingesetzt mit dem Bin. Lehrsatz:

$$\lim_{h\to0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h} = \lim_{h\to0}\frac{(z+h)^{n}-z^{n}}{h} = \lim_{h\to0}\frac{ \sum^{n}_{k=0}{n\choose k}z^{n-k}*h^{k} - z^{n}}{h}$$

Und jetzt weiß ich irgendwie nicht mehr weiter...

A3)

Zeige, dass $f(z) = \overline{z}$ nicht holomorph ist. Dafür muss ich ja zeigen, dass es in einem Punkt nicht komplex diff´bar ist. Für komplexe diff´barkeit nehme ich die Definition aus A2) mit dem Grenzwert:

$$\lim_{h\to0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}= \lim_{h\to0}\frac{\overline{z+h}-\overline{z}}{h} = \lim_{h\to0}\frac{\overline{h}}{h}$$

Ist das so richtig, wenn ja, wie begründe ich jetzt, dass dieser Grenzwert nicht exisitiert?

Wäre eine Fallunterscheidung zwischen einem reellen und imaginären h notwendig und beim nichtübereinstimmen dieser exisitiert der Grenzwert nicht?

A4)

M = $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ und f((x+iy)= (ax+by)+i(cx+dy). Wie muß M sein damit f  $\mathbb{C}$-linear ist?

Hier weiß ich irgendwie gar nichts...

Comments

Tipp zu A3: Wähle einerseits $h=\frac1n$ sowie andererseits $h=\frac in$.

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Muss ich bei der A4 folgendes zeigen: $f(\alpha z)= \alpha f(z)$ und $f(z) + f(w) = f(w+z)$, wobei $\alpha,w,z \in \mathbb{C}$ für eine bestimmte Matrix M, die ich noch rausfinden muss?