Grenzwert; gebrochen-rationale Funktionen mit Wurzel

Question

Hi, machen gerade Grenzwerte im Studium und ich komme ganz gut zurecht, bis ich eine Funktion mit Wurzel bekomme.

Gibt es da eine bestimmte Herangehensweise wie man mit der Wurzel umgeht oder sie weg bekommt?

Beispiel:

$$\lim_{x\to8} \frac { 3 - \sqrt [ ]{ x + 1 } }{ x^2 -64}$$

Answer 1

Bei Differenzen mit Wurzeln kann manchmal das Erweitern mit der

entsprechenden Summe helfen

( 3 - √(x+1) ) * ( 3  +√(x+1) )     /  ( ( x² - 64 ) * ( 3 + √(x+1) ) )

= ( 9 - (x+1) )   /  ( ( x² - 64 ) * ( 3 + √(x+1) ) )


= ( 8 - x  )   /  ( (x-8)(x+8)  * ( 3 + √(x+1) ) )

Da kann man kürzen

= - 1 /   /  ( (x+8)  * ( 3 + √(x+1) ) )

also Grenzwert -1 / ( 16* 6 )

Comments

Da ist ein Fehler drin.

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Wenn man l‘Hospital noch nicht kennt oder nicht nutzen darf, ist das der richtige Weg. Auch sonst ist die Idee mit der 3. Binomischen Formel häufig nützlich. (Am Ende muß es nur -1/16*6 heißen).

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Danke. Fehler wurde von mir korrigiert.

Answer 2

$\lim\limits_{x\to 8}\frac{3-\sqrt{x+1}}{x^2-64}$

Die Herangehensweise mit der Wurzel ist schon erklärt worden.

Weg über L´Hospital:

$\lim\limits_{x\to 8}\frac{3-\sqrt{x+1}}{x^2-64}=\lim\limits_{x\to 8}\frac{-\frac{1}{2\sqrt{x+1}}}{2x}=\lim\limits_{x\to 8}-\frac{1}{4x\sqrt{x+1}}=-\frac{1}{96}$