Beweisen Sie die Formel für det A = Det(A1)*Det(A2)*.... Det(Am) mit Induktion

Question

Zeigen Sie: det A= m ∏ i=1 det A_i

Kann mir da vielleicht jm weiterhelfen, Induktion ist mir klar und bewusst jedoch verstehe ich nicht was ich mit n₁ + n₂ +....+n_m=n nicht und was induktion über n₁  bedeuten soll..
Ich würde erst die formel für m=2 überprüfen und dann für n+1 und dazu muss ich ja teil 1 bzw. die voraussetzen dass für m=2 wahr ist und die formel dementsprechend teilen damit diese voraussetzung anwenden kann, aber da scheiter ich :/

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Begriffe dazu z.B. hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Blockmatrix#Blockdiagonalmatrix

EDIT: Tags ergänzt für später. 

Answer 1

\(m=2\) bedeutet, Du hast nur zwei Kaestchen \(A_1\) und \(A_2\). Fuer die Induktion ist \(n_2\), also die Groesse des zweiten Kaestchens \(A_2\), beliebig, aber fest. Die Induktion wird nach der Groesse \(n_1\) des ersten Kaestchens \(A_1\) gemacht. Der Induktionsanfang mit \(A_1=(a)\) ist einfach $$\begin{vmatrix}A_1&0\\ 0&A_2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a&0\\ 0&A_2\end{vmatrix}=a\cdot\det A_2=\det A_1\cdot\det A_2$$ durch Entwicklung nach der ersten Zeile.

Im Induktionsschritt machst Du ebenfalls Entwicklung nach der ersten Zeile, wobei \(A_1\) jetzt ein \((n_1+1)\times(n_1+1)\)-Kaestchen ist. Auf alle dabei auftretenden Unterdeterminanten passt die Induktionsvoraussetzung.