Komplexe Zahlen, eigendefinierte Mengen

Question

Habe eine Problem bei folgender Aufgabe:

Sei \( L= \){ \(1+i*t| t \in \mathbb{R} \) } \( \subset \mathbb{C} \). Zeigen sie, dass es \( z_{0} \in \mathbb{C} \) und r>0 gibt mit \( | \frac{1}{z} - z_{0} |=r \) für alle \( z \in L \). Und noch gibt es im Hinweis: \( L = \overline{L} \) und Hauptproblem bestehe darin den Mittelpunkt des Kreises zu erraten.

Irgendwie weiss ich nicht was hier zu tun ist. Aus der Definition von L und der zusatzangabe \( L = \overline{L} \) komme ich darauf, dass alle z \( \in L\) = 1 sind. Dann haben wir ja \( | 1 - z_{0} | = r \) bzw. \( | 1 - z_{0} | >0  \), weil r>0 ist. und das ist für alle z=x+iy, z \( \in \mathbb{C} \) erfüllt, wenn (1- x)  \( \neq \) 0 oder y \( \neq \) 0 ist. Also gibt es solche. Irgendwie erkenne ich nicht den Sinn der Aufgabe oder was mache ich hier falsch...

Comments

... komme ich darauf, dass alle \(z\in L\) = 1 sind.

Quark. \(L\) ist eine Gerade. Behauptet wird, dass die Kehrwertabbildung \(z\mapsto1/z\) alle Punkte aus \(L\) auf eine Kreislinie schickt.

Vielleicht malst Du \(L\) mal hin und auch einige Bildpunkte.

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Danke, jetzt sehe ich es auch. L ist eine, durch x=1 laufende, zu der y Achse paralelle Gerade. Und wie zeige ich nun, dass so ein \( z_{0} \) und r existieren?

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Erst finden, dann zeigen. Dazu wie geschrieben einige Bildpunkte ebenfalls einzeichnen.

Answer 1

\(\frac{1}{1+ti} = \frac{1\cdot(1-ti)}{(1+ti)\cdot(1-ti)} = \frac{1-ti}{1^2 - (ti)^2} = \frac{1-ti}{1+t^2} = \frac{1}{1+t^2} - \frac{t}{1+t^2}i\)

Angenommen es existieren ein \(z_0\in\mathbb{C}\) und ein \(r>0\) mit \(\left|\frac{1}{z}-z_0\right| = r\) für alle \(z\in L\). Seien dann \( a,b,c\in \mathbb{R} \), so dass

(1)         \(\left| \left(\frac{1}{1+t^2} - \frac{t}{1+t^2}i\right) - (a+bi)\right| = c \)

für alle \(t \in \mathbb{R}\) gilt. Dann gilt Gleichung (1) insbesondere auch für \(t=0\). Einsetzen liefert

(2)        \( (1-a)^2 + b^2 = c^2\).

Setze aus den gleichen Überlegungen \(t=1\) und \(t=-1\) in Gleichung (1) ein um die Gleichungen (3) und (4) zu bekommen. Löse das Gleichungssystem aus den Gleichungen (2), (3) und (4) um Kandidaten für \(z_0\) und \(r\) zu bekommen.

Zu zeigen bleibt dann noch, dass diese Kandidaten Gleichung (1) nicht nur für \(t=0,1,-1\) erfüllen, sondern tatsächlich für alle \(t\in\mathbb{R}\),

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Danke für die Hilfe, damit habe ich die Aufgabe lösen können. Das man den Bruch mit dem komplex konjugierten des Nenners erweitert habe ich natürlich auch vergessen gehabt.