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Hallo zusammen. Habe eine Problem bei folgender Aufgabe:

Sei \( L= \){ \(1+i*t| t \in \mathbb{R} \) } \( \subset \mathbb{C} \). Zeigen sie, dass es \( z_{0} \in \mathbb{C} \) und r>0 gibt mit \( | \frac{1}{z} - z_{0} |=r \) für alle \( z \in L \). Und noch gibt es im Hinweis: \( L = \overline{L} \) und Hauptproblem bestehe darin den Mittelpunkt des Kreises zu erraten.

Irgendwie weiss ich nicht was hier zu tun ist. Aus der Definition von L und der zusatzangabe \( L = \overline{L} \) komme ich darauf, dass alle z \( \in L\) = 1 sind. Dann haben wir ja \( | 1 - z_{0} | = r \) bzw \( | 1 - z_{0} | >0  \), weil r>0 ist. und das ist für alle z=x+iy, z \( \in \mathbb{C} \) erfüllt, wenn (1- x)  \( \neq \) 0 oder y \( \neq \) 0 ist. Also gibt es solche. Irgendwie erkenne ich nicht den Sinn der Aufgabe oder was mache ich hier falsch...

von

... komme ich darauf, dass alle \(z\in L\) = 1 sind.

Quark. \(L\) ist eine Gerade. Behauptet wird, dass die Kehrwertabbildung \(z\mapsto1/z\) alle Punkte aus \(L\) auf eine Kreislinie schickt.

Vielleicht malst Du \(L\) mal hin und auch einige Bildpunkte.

Danke, jetzt sehe ich es auch. L ist eine, durch x=1 laufende, zu der y Achse paralelle Gerade. Und wie zeige ich nun, dass so ein \( z_{0} \) und r existieren?

Erst finden, dann zeigen. Dazu wie geschrieben einige Bildpunkte ebenfalls einzeichnen.

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\(\frac{1}{1+ti} = \frac{1\cdot(1-ti)}{(1+ti)\cdot(1-ti)} = \frac{1-ti}{1^2 - (ti)^2} = \frac{1-ti}{1+t^2} = \frac{1}{1+t^2} - \frac{t}{1+t^2}i\)

Angenommen es existieren ein \(z_0\in\mathbb{C}\) und ein \(r>0\) mit \(\left|\frac{1}{z}-z_0\right| = r\) für alle \(z\in L\). Seien dann \( a,b,c\in \mathbb{R} \), so dass

(1)         \(\left| \left(\frac{1}{1+t^2} - \frac{t}{1+t^2}i\right) - (a+bi)\right| = c \)

für alle \(t \in \mathbb{R}\) gilt. Dann gilt Gleichung (1) insbesondere auch für \(t=0\). Einsetzen liefert

(2)        \( (1-a)^2 + b^2 = c^2\).

Setze aus den gleichen Überlegungen \(t=1\) und \(t=-1\) in Gleichung (1) ein um die Gleichungen (3) und (4) zu bekommen. Löse das Gleichungssystem aus den Gleichungen (2), (3) und (4) um Kandidaten für \(z_0\) und \(r\) zu bekommen.

Zu zeigen bleibt dann noch, dass diese Kandidaten Gleichung (1) nicht nur für \(t=0,1,-1\) erfüllen, sondern tatsächlich für alle \(t\in\mathbb{R}\),

von 41 k  –  ❤ Bedanken per Paypal

Danke für die Hilfe, damit habe ich die Aufgabe lösen können. Das man den Bruch mit dem komplex konjugierten des Nenners erweitert habe ich natürlich auch vergessen gehabt.

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