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Wir definieren eine Folge (fn)n∈ℕ rekursiv:

f1=0, f2=1, fn+1=fn+2fn-1


Beweisen Sie per Induktion, dass fn=(2n-1+(-1)n )/3 für alle n ∈ ℕ gilt.


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Induktionsanfang n = 1 ; n = 2


f1 = (2^{1 - 1} + (-1)^1)/3 = 0

f2 = (2^{2 - 1} + (-1)^2)/3 = 1


Induktionsschritt: n --> n+1


fn+1 = fn + 2fn-1

(2^ ((n + 1) - 1) + (-1)^{n + 1})/3 = (2^{n - 1} + (-1)^n)/3 + 2·(2^ ((n - 1) - 1) + (-1)^{n - 1})/3

2^n - (-1)^n = 1/2·2^n + (-1)^n + 2·(1/4·2^n - (-1)^n)

2^n - (-1)^n = 1/2·2^n + (-1)^n + 1/2·2^n - 2·(-1)^n

2^n - (-1)^n = 2^n - (-1)^n

wzbw.

von 391 k 🚀

Hey Mathecoach,

im letzten Teil ab :"(2^ ((n + 1) - 1) + (-1)n + 1)/3 = (2n - 1 + (-1)n)/3 + 2·(2^ ((n - 1) - 1) + (-1)n - 1)/3" wird im nächsten Schritt das + (-1) zu -(-1) und es kommt auf einmal ein 1/4 her. 

Diese 2 Punkte habe ich noch nicht so ganz verstanden.

Schönen Gruß!

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