wie schön, dass man (wie so oft) sein Gehirn ausschalten und auf ein CAS zurückgreifen kann.
Aber ganz so aufwändig ist das dann doch nicht:
$$ c+d i= \sqrt{z} = \sqrt{a+b i} $$
$$ c^2-d^2+2cd i = (c+d i)^2 = z = a+b i $$
Damit:
$$ c^2-d^2 = a $$
$$ 2cd = b \qquad \circledast$$
Zweite Gleichung nach \( c \) oder \( d \) auflösen und in erste einsetzen liefert recht schnell:
$$ c^2 = { |z|+a \over 2} $$
$$ d^2 = { |z|-a \over 2} $$
Die Vorzeichen von \( c \) und \( d \) bestimmt man am schnellsten durch \( \circledast \), d.h.
gleiche Vorzeichen, wenn \( b > 0 \), ungleiche Vorzeichen, wenn \( b < 0 \),
Grüße,
M.B.
