Determinante von An:= aI_(n) + bI'_(n) ausrechnen. 34.

Question

Determinante von An:= aI_(n) + bI'_(n) ausrechnen.

hallo die Aufgabe lautet so :

 

ich habe erkannt in der Mitte steht a+b und die hauptdiagonale immer a .... bis hinzu a+b und wieder a und analog für die nebendiagonale b....a+b...b gibt es einen Trick die Determinante zu berechnen? zb laplace entwicklen oder einen produktsatz , summensatz oder sowas? oder vl induktion? für n02 wäre det(A2)=a²-b²=(a+b)(a-b)

Comments

Der Hinweis enthaelt eine Lösungsmoeglichkeit. Halte Dich doch da dran.

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ich verstehe den hinweis nicht so ganz, mir ist nicht so ganz klar was An-2 ist .

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\(A_n:=aI_n+bI_n'\) steht in der Aufgabe. Da wird dann wohl \(A_{n-2}=aI_{n-2}+bI_{n-2}'\) sein.

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hm okay , ich habe mal begonnen mit n=2,3,4 um ein muster zu erkennen .
bei n=2 habe ich $$ a^2-b^2$$ n=3 habe ich $$(a+b)(a^2-b^2)$$ und n=4$$ a^4-b^4$$

dh bei geraden und ungeraden zahlen hat man eine andere Determinate bzw. bei ungeraden zahlen ergibt sich die dertminante aus (a+b)*det(An-1) .

wenn man die Laplace entwicklung anwendet hat man :
a*det( An-2 0,0 a) +b*det(0 b, An-2 0) zeilenweise gelesen . das müsste man nun solange weiterführen biss man bei einer 2  x 2 Matrix wäre . dh bei An muss ich das n-2 mal machen .?

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a*det( An-2 0,0 a) +b*det(0 b, An-2 0)

\({}+b\) ist nicht richtig. Und die verbleibenden Determinaten musst Du auch noch weiter ausrechnen. Es soll eine Rekursionsformel der Art \(\det A_n=\Phi(\det A_{n-2})\) werden.

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oh stimmt es gehört -b.

$$\phi$$  muss dann noch bestimmt werden.

a*det( An-2 0,0 a) +b*det(0 b, An-2 0)=a*(a*det(An-2)) -b*(b*det(An-2))=(a²-b²)*det(An-2)

vl so gedacht?

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-b ist auch falsch.

Das Ergebnis Deiner Rechnung ist sogar richtig. Aber das ist Zufall. Gerechnet hast Du naemlich ganz falsch.

Ich empfehle Dir, den Eintrag "Blockmatrix" in der Wikipedia durchzulesen. A_n ist eine n×n-Matrix und A_n-2 ist eine (n-2)×(n-2)-Matrix. Und das Schema für A_n aus dem Hinweis zur Aufgabe ist natuerlich auch keine 3x3-Matrix und die Nullen da sind Zeilen-/Spaltenbloecke von n-2 Nullen.

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Danke ! Das war mein Fehler ich habe das als 3x3 Matrix gesehen , hätte aber bedenken müssen das dieses Element nicht auf die 3x3 Bezogen ist und daher das Vorzeichen (-1)^i+j bekommt wobei i .. die Zeile und j..die Spalte ist in der man sich gerade befindet bezogen auf die nxn Matrix bzw  der Matrix in der man entwickelt nach Laplace  .

Dann ergibt das alles Sinn !

Dh also die Rekursive Formel : Det(An)=(a²-b²)Det(An-2) ist richtig?

muss man das noch näher ausführen oder ist man fertig?

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Die korrekt ausgefuehrte Rechnung, die Dir das Ergebnis erbracht hat, wird man sehen wollen.

Und die Aufloesung der Rekursionsgleichung ist auch verlangt.

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Hallo fakename ,

also dann würde ich mir die Rekusrive Vorschrift als Hilfsmittel hernehmen um mit Induktion zu Zeigen dass:

1) für n≥2 und n gerade gilt :

 det(An)=(a²-b²)ⁿ/2

1.1) für n=2 hat man (a²-b²)²/2=a²-b²=det(A2)

1.2)Angenommen die Aussage gelte für ein festes beliebiges n ,zz ist Det(An+2)=(a²-b²)^{(n+2) /2}

Det(An+2)=(a²-b²)*Det(An)=(a^-b²)*(a²-b²)ⁿ/2=(a²-b²)^(n+2)/2

2) für n≥3 und n ungerade gilt :

det(An)=(a²-b²)^(n-1)/2(a+b)

2.1) n=3 es gilt : (a²-b²)^(3-1/2)*(a+b)=(a²-b²)(a+b)

2.2)Angenommen die Aussage gelte für ein festes beliebiges n ,zz ist Det(An+2)=(a²-b²)^{(n+1) /2}

Det(An+2)=(a²-b²)*Det(An)=(a^-b²)*(a²-b²)^(n-1)/2=(a²-b²)^{2/2 +(n-1)/2}=(a²-b²)^(n+1)/2

so gedacht gewesen?

Ich habe halt für n=2 und n=3 mir Det ausgerechnet und dann mit der Rekursivorschrift die Determinante von A4 Aund A5 ausgerechnet und ein Muster erstellt.

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Ja, schoen. Die Ergebnisse stimmen alle. Musst Du es bloss noch ansprechend zu Papier bringen. Du erfaehrst ja dann, was man davon haelt. :)