Berechnen Sie durch logarithmisches Differenzieren die Ableitung von g(x) = (cosx)^x

Question

Ich muss die erste Ableitung der Funktion g(x) = (cosx)^x  mithilfe von logarithmischem Differenzieren finden weiß aber leider nicht wie ich vorgehen muss.

Answer 1

Hallo lucamett,

zuerst logarithmierst du beide Seiten.

$$\ln(f(x))=\ln((cos(x))^x)=x \cdot \ln(cos(x))$$

Jetzt differenzieren:

$$\frac{f'(x)}{f(x)}=1 \cdot \ln(cos(x))+x \cdot\frac{-sin(x)}{cos(x)}=\ln(cos(x))-x\cdot tan(x)$$

Nach f'(x) auflösen:

$$ f'(x)= cos(x)^x \left((ln(cos(x))-x\cdot tan(x)\right)$$

mfg sigma

Probe: https://www.wolframalpha.com/input/?i=D%5B(cos(x))%5Ex)%5D