Bruchgleichung (ax+b)/(cx+d) = (a+bx)/(c+dx)

Question

Ich habe folgende Bruchgleichung

$\frac{a x+b}{c x+d}=\frac{a+b x}{c+d x}$

Wenn ich nun über Kreuz multipliziere oder durch Doppelbruch alles auf die linke Seite ziehe, bekomme ich immer zweimal x², die ich aber nicht gleich sind und ich deshalb nur durch Teilen der anderen Buchstaben isolieren kann. Wenn ich dies mache, schiebe ich es aber nur auf die andere Seite.

Mit anderen Worten: Ich weiß nach zwei Stunden im Kreis rechnen keinen Lösungsweg. Die Lösung soll x = ±1 sein.

Answer 1

Hi,

multipliziere mal mit den jeweiligen Nennern:

(ax+b)(c+dx) = (a+bx)(cx+d)

ax*c+ax*dx+b*c+b*dx = a*cx + a*d + bx*cx +bx*d  |-ad-bcx²

adx²-ad+bc-bcx² = 0    |Ausklammern von ad und -bc

ad(x²-1) - bc(x²-1) = 0  |Ausklammern von x²-1

(x²-1) ( ad-bc) = 0

 

Wenn wir nun also daran interessiert sind die Gleichung für x Null zu setzen, so ist das für

x=1 und x=-1 der Fall.

Denn ein Produkt ist dann Null, wenn es ein Faktor ist, hier also x²-1 = 0.

Grüße

Comments

adx²-ad+bc-bcx² = 0

Dort war ich auch, war aber blind genug, das Ausklammern zu übersehen ...

Answer 2

 

ich probiere es auch einmal mit kreuzweisem Multiplizieren: 

(ax + b) * (c + dx) = (cx + d) * (a + bx)

acx + adx² + bc + bdx = acx + bcx² + da + dbx | -acx

adx² + bc + bdx = bcx² + ad + bdx | auf beiden Seiten -bdx, dann alles mit x auf eine Seite

adx² - bcx² = ad - bc | x² ausklammern

x² * (ad - bc) = ad - bc | beide Seiten durch (ad - bc) dividieren

x² = 1

x₁ = -1

x₂ = 1

Ich hoffe, ich konnte helfen :-)

Besten Gruß

Comments

Vielen Dank auch an dich.

Ich war leider zu blind, um das Ausklammern zu sehen! ;)

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Sehr gern geschehen :-)

Und wie Unknown schon schrieb: Die Übung macht's.

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Gefährlich ist's den Leu zu wecken ... oder "beide Seiten durch (ad - bc) dividieren", denn das dürfen wir nur, wenn ad ungleich bc, und das war erstens nicht in der Aufgabenstellung vorgegeben und das müßten wir zweitens zumindest in dem Lösungsvorschlag erwähnen - [/Klugschießermodus Ende]

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Wohl wahr: Division durch 0 ist nicht erlaubt :-)

Danke für den Hinweis!

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@andreas

Mit deiner Umformung kommt man auch ohne Division zum Ziel

x² * (ad - bc) = ad - bc

Argumentation

ist x² = 1 stimmt die Gleichung

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$$adx^2 - bcx^2 = ad - bc \quad\Leftrightarrow\\\,\\ x^2\cdot\left(ad - bc\right)- \left(ad - bc\right) = 0 \quad\Leftrightarrow\\\,\\ \left(x^2-1\right)\cdot\left(ad - bc\right) = 0 \quad\Leftrightarrow\\\,\\ \left(x+1\right)\cdot\left(x-1\right)\cdot\left(ad - bc\right) = 0 \quad\Leftrightarrow\\\,\\ x=-1 \quad\lor\quad x=1 \quad\lor\quad ad=bc.$$

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@ Georg:

Ja, stimmt!

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@ Gast:
Leuchtet ein, danke!

Answer 3

Hi,

wenn da steht

ad x^2 ... = cb y^2 ...,

dann kannst du x^2 auf eine Seite bringen, durch

(ad - cb) x^2 ... = ....

Das gleiche gilt natürlich auch für x oder x^3 oder x^4, etc. .... In dieser Gleichung hast du aber schon richtig gerechnet, gibt es nur den maximalen Grad 2.

MfG

Mister