Grenzwert bestimmen wurzel

Question

Ich bekomme einfach die Grenzwerte folgender Aufgaben nicht raus. Wäre toll wenn sie jemand mit Rechnungsweg hier posten könnte.

Answer 1

Wir haben folgendes:

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n+2}{\sqrt[3]{n^4}-\sqrt[3]{n^2}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n\cdot \left(1+\frac{2}{n}\right)}{\sqrt[3]{n^3}\cdot \left(\sqrt[3]{n}-\frac{1}{\sqrt[3]{n}}\right)}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n\cdot \left(1+\frac{2}{n}\right)}{n\cdot \left(\sqrt[3]{n}-\frac{1}{\sqrt[3]{n}}\right)}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1+\frac{2}{n}}{\sqrt[3]{n}-\frac{1}{\sqrt[3]{n}}}=\frac{1+0}{\infty-0}=\frac{1}{\infty}=0$$

und

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n\cdot \sqrt[n]{n^2+2}}{\sqrt{2}n+1}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n\cdot \sqrt[n]{n^2+2}}{n\cdot \left(\sqrt{2}+\frac{1}{n}\right)}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{ \sqrt[n]{n^2+2}}{\sqrt{2}+\frac{1}{n}}=\frac{ 1}{\sqrt{2}+0}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$

Comments

Erstmal dankeschön für die Antwort hat mir sehr geholfen und wie kommst du vom 3. letzen schritt auf die 1 ?

---

Wir haben folgendes: $$\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{n^2+2}  =\lim_{n\rightarrow \infty}\left(n^2+2\right)^{\frac{1}{n}} \\ =\lim_{n\rightarrow \infty}e^{\ln \left(n^2+2\right)^{\frac{1}{n}}}  =\lim_{n\rightarrow \infty}e^{\frac{\ln \left(n^2+2\right)}{n}} \\ =e^{\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\ln \left(n^2+2\right)}{n}}}  \ \overset{\text{ De L'Hospital } }{ = } \ e^{\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\frac{1}{n^2+2}}{1}}} \\ =e^{\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n^2+2}}}  =e^0  =1$$