1/3^n Beweis zur konvergenz

Question

und zwar habe ich das Problem zu beweisen, dass 1/3ⁿ konvergiert. Ich habe auf die ursprüngliche Formel das Majorantenkriterium angewendet müsste jetzt quasi 1/3ⁿ als Majorante wählen, nur macht das auch wirklich Sinn, wenn ich zeigen kann das 1/3ⁿ konvergiert.

Mein erster Gedankengang war irgendwie anzubringen, dass 1/n^k für k≥2 konvergiert und dass daher auch 1/3ⁿ konvergieren müsste, da es so gesehen für eine Reihe von n=0 bis ∞ größer wird als 1/n^k . Problematik hierbei ist also, dass ich nicht wirklich weiß ob diese Aussage zu 100% zutrifft (klar ist es von k abhängig) und die zweite Problematik ist wahrscheinlich, dass es nicht ansatzweise als eine Art Beweis reicht. Von daher flehe ich euch an, mir zu helfen, wie ich beweise, dass 1/3ⁿ konvergiert.

Grüße

Comments

Sind die 1/3^n Folgenglieder oder hast du da noch ein Summenzeichen (-> Reihe) dabei?

Mit einem Summenzeichen hättest du es mit einer konvergenten geometrischen Reihe zu tun.

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Mmh vielleicht solltest du deine Frage noch einmal präzisieren, ansonsten kann man eine Problem gerechte Antwort nicht erwarten.

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Es handelt sich um eine Reihe, habe gerade nachgeguckt was es mit einer geometrischen Reihe auf sich hat, ganz schlau werde ich nicht daraus, dass größte Problem was ich aber habe ist den Zusammenhang zwischen der geometrischen Reihe und des mir vorgeschriebenen Majorantenkriterium.

Ich habe als Vorschrift das Majorantenkriterium zu verwenden, nur denke ich nachdem ich mich in geometrische Reihen eingelesen habe, dass ich über die Partialsummen zeigen könnte, dass die Reihe konvergiert, was jedoch nach der Vorgabe der falsche Ansatz wäre oder? :/

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$$ \frac { 1 }{ { 3 }^{ n } } = {\left( \frac { 1 }{ 3 }\right) }^{ n }$$

ich nehme an die Reihe startet bei n=0 ?

$$\sum_{n=0}^{\infty}{{\left( \frac { 1 }{ 3 }\right) }^{ n }}=\frac { 1 }{ 1 - \frac { 1 }{ 3 } }= \frac { 3 }{ 2 } $$

$$\sum_{n=0}^{\infty}{{\left( \frac { 1 }{ 3 }\right) }^{ n }}=\lim_{k\to\infty} \sum_{n=0}^{k}{{\left( \frac { 1 }{ 3 }\right) }^{ n }} =$$ weiter mit der geometrischen Summenformel

$$ \lim_{k\to\infty}\frac { 1 -  {\left( \frac { 1 }{ 3 }\right) }^{ k+1 }}{ 1 - \frac { 1 }{ 3 } }=\frac { 1 -  \lim_{ k\to\infty}{\left( \frac { 1 }{ 3 }\right) }^{ k+1 }}{ 1 - \frac { 1 }{ 3 } } = \frac { 1 - 0 }{ 1 - \frac { 1 }{ 3 } }= \frac { 1 }{ 1 - \frac { 1 }{ 3 } }= \frac { 3 }{ 2 } $$

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Ah, danke, ich denke ich habe jetzt auch verstanden wie man in solchen Zusammenhängen die geometrische Summenformel verwendet.

Answer 1

Die Folge (a_n)_n∈ℕ mit a_n=1/3ⁿ lautet 1/3, 1/9, 1/27, 1/81, 1/243. ... die Folgenglieder nähern sich 0.

Comments

Handelt sich hier aber um eine Reihe, was das ganze leider nicht so einfach macht wie bei einer Folge.

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Tut mir übrigens Leid, falls ich mich in meiner Frage unklar ausgedrückt hatte, hatte extra Reihe als Tag mit ausgewählt und das Majorantenkriterium genannt, hätte mich wahrscheinlich mehr spezifizieren sollen.