Zeigen das Funktion einer Gleichung genügt

Question

Funktion y: D → ℝ mit

$$ y(x)\quad =\quad \frac { x\quad -\quad { e }^{ { x }^{ 2 } } }{ 2{ x }^{ 2 } }  $$

z.z: $$ x\frac { dy }{ dx } \quad +\quad 2y\quad =\quad { e }^{ { -x }^{ 2 } }\quad +\quad \frac { 1 }{ 2x }   $$

Da $$ \frac { dy }{ dx } \quad =\quad y'(x)\quad =\quad \frac { (1-2x{ e }^{ { x }^{ 2 } })*2{ x }^{ 2 }\quad -\quad (x-{ e }^{ { x }^{ 2 } })*4x }{ 4{ x }^{ 4 } } \quad $$

$$ =\quad \frac { -x\quad +\quad 2{ e }^{ { x }^{ 2 } }(-{ x }^{ 2 }+1) }{ 2{ x }^{ 3 } }   $$

folgt aber 

$$ x\frac { dy }{ dx } \quad +\quad 2y\quad \quad =\quad \frac { -x\quad +\quad 2{ e }^{ { x }^{ 2 } }(-{ x }^{ 2 }+1) }{ 2{ x }^{ 2 } } \quad +\quad \frac { 2(x-{ e }^{ { x }^{ 2 } }) }{ 2{ x }^{ 2 } } \quad =\quad \frac { x-2{ e }^{ { x }^{ 2 } } }{ 2{ x }^{ 2 } } \quad =\quad \frac { 1 }{ 2x } \quad -\quad { e }^{ { x }^{ 2 } } $$

Ich überlege nun schon eine kleine Weile wo ich mich vertan hab. Aber ich frag mich auch wo denn ein $$ { e }^{ { x }^{ 2 } }  $$ "in den Nenner rutscht". Kann mir jemand weiterhelfen?

Comments

Im vorletzten Schritt ist ein Tippfehler: es wurde ein  x²   beim Eintippen vergessen so dass $$ \quad \frac { x-2{ x }^{ 2 }{ e }^{ { x }^{ 2 } } }{ 2{ x }^{ 2 } } \quad =\quad \frac { 1 }{ 2x } \quad -\quad { e }^{ { x }^{ 2 } }\quad $$

Da es nur ein Tippfehler ist, ist das  Ergebnis natürlich noch immer dasselbe. Sieht jemand irgendwo Fehler?

Answer 1

Deine Ableitung ist korrekt, dein x·y'(x) + 2·y(x) ist korrekt, die Behauptung ist falsch.

Comments

... oder der Aufgabenautor hat das Minus fersehentlich valsch in den Exponenten gesetzt anstatt vor das e ...

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Ja, das ist einer der Wege, wie es dazu kommen konnte, dass da eine falsche Behauptung steht.