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ich habe diese zwei Funktionen gegeben (g und h) und muss das Monotonieverhalten von beiden bestimmen und weiß leider überhaupt nicht weiter. Kann mir bitte jemand helfen.

Liebe Grüße

von

1 Antwort

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Bei g hast du 2x-3 bei der Quadratfunktion eingesetzt.

Die Quadratfunktion ist monoton steigend für x > 0

also g monoton steigend für   2x-3 > 0

                            2x > 3

                             x > 3/2

und fallend für x < 3/2 .

Bei h machst du  8x3 - 3

Die -3 ist eine Verschiebung des Graphen um 3 nach unten,

macht also nix für die Monotonie .

8x3 ist immerzu monoton steigend, also auch h

von 229 k 🚀

Vielen Dank für Ihre Hilfe!

Wollte Sie noch kurz fragen ob man 8x^3-3 auch rechnerisch beweisen kann, dass sie monoton steigt?

Liebe Grüße

Geht entweder über die Ableitung ( 24x2 ist immer ≥ 0 ) ,
oder elementar etwas aufwändiger:

(Ich nehme mal nur x3  ( dann ist es ja bei 8x3-3  auch klar.)

Ist zu zeigen:  Sei a<b dann a3 < b3 .

1. Fall: a und b haben verschiedene Vorzeichen, und sind

beide nicht 0 dann ist a < 0   < b

und dann auch a3 negativ und b3 positiv. OK.

2. Fall:  einer von beiden ist 0, auch kein Problem.

3. Fall  :  beide gleiche Vorzeichen:

a<b  ==>    b-a < 0 ==>  (b-a)3 < 0

==>   b3 - 3ba2 + 3b2a - a3 < 0


==>   b3 - a3 <  3ba2  -  3b2a  = 3ba(a-b)  #

und da beide gleiche VZ haben ist 3ba > 0 und

wegen a<b ist  a-b < 0 , also das Produkt negativ

und damit wegen #    b3 - a3 <   3ba(a-b) < 0

also  b3 - a3 <  0.  q.e.d.

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