Jordansche Normalform berechnen

Question

Liebe Helfer(innen),

ich soll zu folgender Matrix die Jordansche-Normalform bestimmen.

A = ( 2   3   0    -6 )

      ( 6   5   0   -12 )

      ( 7   5   -1  -11)

      ( 3   3   0     -7)

So als erstes habe ich das charakteristische Polynom berechnet und kam dabei auf:

PA(X) = (-1-x)*(-x^3+3x+2)

Dann habe ich die Eigenwerte bestimmt. Dabei kam ich auf

x = (-1) und x = 2, wobei der Eigenwert (-1) die algebraische Vielfachheit 3 hat und 2 die algebraische Vielfachheit 1 hat.

So jetzt weiß ich, dass meine Jordan-Normalform in etwa so aussieht:

( -1       0  0)

(0   -1       0)

(0   0   -1  0)

(0   0   0   2)

So und jetzt weiß ich einfach nicht wie ich weiter machen soll. Wie bekomme ich die fehlenden Einträge raus? Wir hatten leider kein Beispiel in der Vorlesung und wenn ich andere Beispiele mir ansehe, verstehe ich nicht was da mit dem Kern gemacht wird.

Ich hoffe mir kann jemand helfen ich verzweifel schon.

Dankeschön :)

Answer 1

Soweit alles richtig, bleibt nur noch die Form der Jordanblöcke für x = -1 zu bestimmen. Dazu definiere die Matrix

$$ B := A - (-1) \cdot I_4 $$

Dann ergibt sich die Anzahl der j-reihigen Jordanblöcke zu

$$ q_{-1}(j) := Rang(B^{j-1}) - 2 \cdot Rang(B^j) + Rang(B^{j+1}), \quad wobei \quad B^0 = I_4  $$

also

$$ q_{-1}(1) = 4 - 2 \cdot 2 + 1 = 1 $$

Und aus der algebraischen Vielfachheit folgt direkt, dass es somit auch einen zweireihigen Block geben muss. Die Anordnung der Blöcke ist dabei nicht eindeutig festgelegt.