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Ich habe bei 2 Aufgaben Probleme:

1.) z^3 = 8

2.) z^3 = -8

Bei 1.) habe ich zunächst die 3te Wurzel gezogen aber das bringt mich nicht weiter.

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ohne Winkel:

z^3=8

z^3-8=0

Eine Lösung ist offensichtlich z=2

Faktorisiere nun:

(z-2)(z^2+2z+4)=0

Löse nun

(z^2+2z+4)=0

Nutze entweder die pq-Formel, dann musst du am Ende die Wurzel einer komplexen Zahl ziehen. Oder setze z=x+iy und setze ein:

(x+iy)^2+2x+2iy+4=0

x^2+2ixy-y^2+2x+2iy+4=0

Vergleiche Real und Imaginärteil:

x^2+2x+4-y^2=0

2xy+2y=0

Dann hast du zwei reelle Gleichungen die man lösen kann.

Zweite Gleichung:

y=0, x beliebig---> erste Gleichung hat dann keine Lösung

Zweite Gleichung y ungleich 0:

ergibt x=-1

in erste Gleichung einsetzen

3=y^2

y=±√3

Avatar von 37 k

Wie bist du auf die 2 gleichungen am Ende gekommen?

Zwei komplexe Zahlen sind gleich, wenn sie jeweils in Real und Imaginärteil übereinstimmen. Es ist 0=0+0*i

Auf der linke Seite steht sortiert

x^2+2x+4-y^2 +i(2xy+2y)

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1.) z3 = 8

Bei 1.) habe ich zunächst die 3te Wurzel gezogen aber das bringt mich nicht weiter.

Warum bringt dich das nicht weiter Z = 2 ist eine Lösung. Weißt du wie die anderen Lösungen liegen? Die liegen nur im Winkel von 120° und 240° gedreht

Schau dir mal die Skizze bei Wolfram an

https://www.wolframalpha.com/input/?i=z%5E3%3D8

Kannst du dann die Lösungen für 1. und 2. berechnen ?

Avatar von 477 k 🚀

Wenn ich zb annehme, dass x+iy = 2 ist.

Kann ich ja auch sagen, dass x + iy = 2 + 0i ist, aber habe ich dann für den Fall mir re(z) = 2 und im(z) = 0 alles abgedeckt? Das i stört mich.

Für die Gleichung z^3 = 8 gibt es 3 Lösungen

z1 = 2 * (cos(0°) + i * sin(0°)) = 2

z2 = 2 * (cos(120°) + i * sin(120°)) = √3·i - 1

z3 = 2 * (cos(240°) + i * sin(240°)) = - √3·i - 1

Wir hatten noch keine Winkel eingeführt.

Dann bleibt das Verfahren das Lu dir gezeigt hat.

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Zur vorhandenen Antwort:

"Weißt du wie die anderen Lösungen liegen? Die liegen nur im Winkel von 120° und 240° gedreht "

@385fr Du solltest lernen, wie man die weiteren Lösungen von Gleichungen der Form z^n = a findet, wenn man mal eine Lösung hat.

Nochmals zu deiner Aufgabe: Vgl. hier

https://www.mathelounge.de/179248/berechnen-sie-real-imaginarteil-aller-komplexen-zahlen-gilt 

Alternatives Vorgehen hier. Du hast z=2.

z^3 - 8 = 0

(z^3 - 8) : (z-2) = z^2 + 2z + 4

z^3 - 2z^2

-----------------

      2z^2

      2z^2 - 4z

------------------

                 4z

                 4z - 8

------------------------

                          0

Nun nachrechnen und dann löst du z^2 + 2z + 4 = 0 mit einer dir bekannten Methode und bekommst 2 weitere Lösungen der gegebenen Gleichung.

Avatar von 162 k 🚀

Soweit bin ich auch schon gekommen, ich sitze mitlerweile dabei fest, dass ich den Real und Imaginärteil nicht eindeutig bestimmen kann. Es klappt nur, wenn ich y = 0 setzte, da ich damit das i eliminiere.

Wieso darfst du das machen: (z3 - 8) : (z-2)


z-2 = 0 und durch 0 darf man nicht teilen?

"Ein Produkt ist genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 ist." Das gilt auch bei komplexen Zahlen.

f(z) = z^3 - 8 hat eine Nullstelle z=2, die du gefunden hast. Daher kann man den Faktor (z-2) abspalten. D.h. es muss Folgendes möglich sein:

z^3 - 8 = (z-2)* (z^2 + pz + q)

Du suchst die hintere Klammer dieser Gleichung.

z^3 - 8 = (z-2)* (z^2 + pz + q)            | :(z-2)        , z≠ 2 (du suchst und findest andere Lösungen!)

(z^3 - 8) : (z-2) =  z^2 + pz + q     

.... vgl. meine Antwort.

z2 + 2z + 4 = 0 

z2 + 2z + 1 - 1 + 4 = 0 

(z+1)^2 = - 3

z+1 = ± √(3)*i

z= - 1 ± √(3)*i

L = { 3 , - 1 + √(3)*i, -1 - √(3)*i }  

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