Hilfe bei Differentialgleichung durch Substitution

Question

ich verzweifle gerade an dieser Aufgabe!!! :( Kann mir irgendjemand verraten wie das zu lösen ist?

Answer 1

(1 + y²) / y' + x·y = 0

y' · y / (- y² - 1) = 1 / x

dy/dx · y / (- y² - 1) = 1/x

y / (- y² - 1) dy = 1/x dx

∫ -y / (y² + 1) dy = ∫ 1/x dx

 

Subst.

z = y² + 1

1 dz = 2·y dy

dy = dz / (2·y)

 

∫ -y / z dz / (2·y) = ∫ 1/x dx

∫ -1 / (2·z) dz = ∫ 1/x dx

- 1/2·LN(z) = LN(x) + C

 

Resubst.

- 1/2·LN(y² + 1) = LN(x) + C1

LN(y² + 1) = -2·LN(x) + C2

LN(y² + 1) = LN(x^-2) + C2

y² + 1 = e^C2 / x²

y² = C3 / x² - 1

y² = (C3 - x²) / x²

y = ± √(C3 - x²) / x

Vereinfachung der Konstanten

y = ± √(C - x²) / x

 

Answer 2

Setzte \( z = \frac{1}{2} ( 1 + y^2) \) dann folgt \( z' = y y' \). daraus folgt

\( z' = - \frac{2z}{x} \) also \( \frac{dz}{z} = -\frac{2z}{x} \).

Durch Integration folgt \( \ln(z) = \ln\left( \frac{1}{x^2} \right) + C \) also $$ y(x) = \sqrt{ \frac{C}{x^2} - 1 }  $$

Answer 3

$$ {1+y^2 \over y'} +xy = 0 $$

$$ (2+2y^2) +2xyy' = 0 $$

$$ (2+2y^2) +x(y^2)' = 0 \quad |~ z = y^2 $$

$$ (2+2z) +xz' = 0 $$

Trennung der Variablen.

Hinweis: Ein Akzent ist kein Apostroph!

Grüße,

M.B.