konvergenzradius ist unendlich? habe ich die aufgabe richtig gelöst

Question

Kann mir riner von euch sagen, ob das richtig ist, was ich da gerechnet habe.

Answer 1

Du hast ein n im Exponenten verloren:

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n! \ x^n}{2^{(n+1)^2}} \frac{2^{n^2}}{(n-1)! \ x^{n-1}} = \frac{n!}{(n-1)!}\frac{x^n}{x^{n-1}}\frac{2^{n^2}}{2^{(n+1)^2}} = \\ nx \ 2^{-2n-1} = nx \ 2^{-(2n+1)} = nx \ \frac{1}{2^{(2n+1)}} = nx \ \frac{1}{2^{(2n)}\cdot 2} = \frac{x}{2}\frac{n}{2^{2n}} \\\left | \frac{a_{n+1}}{a_n} \right | = \frac{|x|}{2}\frac{n}{2^{2n}} \\\lim\limits_{n \to \infty} \left | \frac{a_{n+1}}{a_n} \right | = \lim\limits_{n \to \infty}\frac{|x|}{2}\frac{n}{2^{2n}} = \frac{|x|}{2} \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n}{2^{2n}} = \frac{|x|}{2} \cdot 0 = 0 < 1 \\$$
Mit dem Quotientenkriterium ist die Reihe konvergent.
Konvergenzradius:

$$\lim\limits_{n \to \infty} \left |\frac{a_{n}}{a_{n+1}} \right | = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{2}{|x|} \frac{2^{2n}}{n} = \frac{2}{|x|} \lim\limits_{n \to \infty} \frac{2^{2n}}{n} = \frac{2}{|x|} \infty = \infty$$
Die Reihe konvergiert für alle x ∈ ℝ.

Comments

danke für die lösung. Was bedeutet das nun für den konvergenzintervall ? Geht der von - unendlicn bis + unendlich ?

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Und müsste es nicht heißen für alle x außer null ?

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Nein, ist der Konvergenzradius oo, dann konvergiert die Reihe für alle x ∈  ℝ (inklusive der Null), es ist ja auch 0 ∈ ℝ.
:-)