Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung Grenzwert

Question

Hey:)

Könnt ihr mir bei der Aufgabe helfen?

Ich dacht eigentlich, dass das voll einfach wäre, aber wenn ich ja die Stammfubktion bilde steht da 1/2y *sin(y^2) und das wäre ja ein Produkt und häbe nicht cos(y^2).

Hoffe ihr könnt mir da weiterhelfen:)

Comments

Das richtige Stichwort heisst nicht Haupsatz, sondern Mittelwertsatz der Integralrechnung.

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Sorry, hab mich verlesen. Ist es dann so, dass null rauskommt?

Wäre ja (cos(x^2)- cos(0))/x = (cos(x^2)-1)/x Und für x gegen null geht der Term gegen null?

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nicht Haupsatz, sondern Mittelwertsatz

oder vielleicht doch ?

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Ich habe extra "Mittelwertsatz der Integralrechnung" geschrieben. Der ist auch gemeint. Nicht der Mittelwertsatz der Differentialrechnung.

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Benutze l'Hospital und leite den Zähler mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung ab.

Answer 1

Hallo Sonnenblume,

wenn ich dem Hinweis im Kommentar von  Gasthj2166  folgt, erhalte ich:

Da  der Integrand  cos(y²)   in  ℝ  stetig ist, ist - nach dem Hauptsatz der DRuIR -  die Integralfunktion

I(x) = ₀∫^x  cos(y²) dy  in ℝ  definiert und differenzierbar mit  I '(x) = cos(x²)

Dann gilt wegen  ₀∫⁰ ...  =  0   weiter

lim_x→0  I(x) / x  =  " 0 / 0"    und mit Hospital

=  lim_x→0  I '(x) / 1  =  lim_x→0  cos²(x)  / 1  =  1   

Gruß Wolfgang 

Comments

Woher kommt das durch x?:)

lim_x→0  I(x) / x  =  " 0 / 0"    und mit Hospital 

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Von dem Faktor 1/x vor dem Integral

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Wieso ist I'(x) nicht cos(x^2)-1

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Die Ableitung der Integralfunktion I(x) ist die Integrandenfunktion x ↦ cos(x²), weil I(x) eine Stammfunktion der Integrandenfunktion ist.

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Muss es hier

=  lim_x→0  I '(x) / 1  =  lim_x→0  cos²(x)  / 1  =  1   

Nicht eigentlich cos(x^2) heißen?

Answer 2

die Stammfunktion von COS(y^2) kann man nicht mit elementaren Funktionen ausdrücken.

Von daher musst du dir hier was anderes überlegen. Entwickle z.B COS(y^2) in eine Taylorreihe mit Entwicklungspunkt x0=0 und setze in das Integral ein.