Verteilungsfunktion Statistik/stochastik

Question

Gegeben sei die folgende Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen X 

Fχ(x) = {0, 1/625 * x^4, 1   für x < 0, für 0 ≤ x ≤ 5 , für x > 5 

Ergebnis kaufmännisch auf zwei Nachkommastellen runden 

a) Bestimmen sie die Dichte von X für 0 ≤ x ≤ 5 

ƒχ(x)= 

b) Gegeben sie die zugehörige Quantilfunktion Qχ(p) an.

Qχ(p)=

c) Berechnen sie den Median von X

x_0,5=

d) Berechnen sie den Erwartungswert von X

E［X] = 

e) Berechnen die die Varianz von X

V ［X] =

f) Berechnen sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis {X < 1 }

Answer 1

a) f: y = 4 / 625 x³

b) Q: x = 5 y^1/4

c) x_0.5 = 4.2

f) Das bestimmte Integral der Verteilungsfunktion von 0 bis 1 ist 0.16%

Comments

Kann man nochmal kurz erklären wie man darauf kommt 

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Zeichne dir die Verteilungsfunktion auf. Dann siehst Du, dass sich die Ereignisse im Intervall [0, 5] abspielen.

a) Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist die erste Ableitung der Verteilungsfunktion.

b) Die Quantilfunktion ist die Umkehrung der Verteilungsfunktion (nach x aufgelöst).

c) Den Median erhält man, indem man 0,5 in die Quantilfunktion einsetzt.

f) x=1 in F eingesetzt

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Ich komm einfach nicht drauf...

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Auf was kommst du nicht? Hast du dir die Verteilungsfunktion aufgezeichnet?

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...sieht so aus:

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Die Verteilungsfunktion soll man nach x auflösen .. bei mir kommt nicht das richtige raus 

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F (Verteilungsfunktion): y =1/625 * x⁴

Herleitung von Q (Quantilfunktion):

y =1/625 * x⁴                              Ι * 625

⇔ 625 y = x⁴                              Ι vierte Wurzel ziehen

⇔ x = (625 y)^1/4 = 5 y^1/4

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Kannst du mir noch sagen wie man d) und e) macht ? 

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d) und e)

Im Allgemeinen gilt: Wenn eine Zufallsvariable X eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f(x) hat, gilt

und

Hier geht es aber nur um das Intervall von 1 bis 5. Der Mittelwert μ ist 4 (das Integral der Wahrscheinlichkeitsdichte von Null bis 4 ist 50% und das Integral von 4 bis 5 ist auch 50%), und die Varianz nach obiger Formel ist gleich 2/3.

Es ist hier unerheblich ob man links bei -∞ oder bei 0 anfängt, und rechts bis 5 oder bis ∞ integriert, weil außerhalb des Intervalls von 0 bis 5 die Wahrscheinlichkeitsdichte eh Null ist, siehe die Grafik weiter oben.

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Ich kann die letzten 3 Aufgaben einfach nicht lösen :/

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Kannst du bestimmte Integrale ausrechnen?

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Ist der Erwartungswert 4,17 ?

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nein der ist 4

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Kannst du mir vielleicht genau sagen wieso? oder den Rechenweg 

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d) Zum Ausrechnen von μ nimmst du die Stammfunktion am oberen Ende (x=5) minus die Stammfunktion am unteren Ende (x=0).

Stammfunktion der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion, und die ist ja 1 / 625 x⁴.

Du willst aber x * f(x) integrieren, d.h. x * 4 / 625 x³ d.h. die Stammfunktion ist 4 / 3125 x⁵.

Das am oberen Ende (x=5 eingesetzt) ergibt 4 und das am unteren Ende (x=0) ergibt 0. Das bestimmte Integral ist also 4 - 0 = 4.