Frage bei Berechnung eines Integral

Question

ich lese mir gerade etwas in einem Buch durch und verstehe ein Resultat nicht.
Sei $$ f_\lambda (x) = f(\lambda) = a \quad für \quad \lambda=x $$ und $$ f_\lambda (x) = 0 \quad \lambda \neq x $$
Sei g eine quadratintegrable Funktion, dann gilt:
$$ < f_\lambda | g > = \int_\mathbb{R} f_\lambda ^* (x) g(x) dx = 0 $$
Warum ist das Integral 0?

Answer 1

es ist

$$ f_\lambda ^* (x) g(x)=\{a^**g(\lambda):\lambda=x,0: sonst\} $$

und damit

$$  \int_\mathbb{R} f_\lambda ^* (x) g(x) dx \\=  \int_{-\infty}^{\lambda}0 dx + \int_{\lambda}^{\infty}0 dx=0 $$

Comments

Habe ich das richtig verstanden.

$$ \int_\mathbb{R} f^*_\lambda (x) g(x) dx $$

ist nur in einem Punkt von Null verschieden, also betrachte ich doch den folgenden Fall:

$$ \int_\mathbb{R} f^*_\lambda (x) g(x) dx = g(\lambda) \int_\lambda^\lambda  f^*_\lambda (x) dx  $$ und dies ist ja bekanntlich Null.

Jetzt verstehe ich aber das folgende nicht. Wenn $$f^*_\lambda (x) $$ durch $$ \delta_\lambda (x) $$ ersetze. Warum ist dieses Integral dann nicht von verschieden?

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Was meinst du mit

Warum ist dieses Integral dann nicht von verschieden?

Jedenfalls ist 

$$ \int_{-\infty}^{\infty}{ \delta }_{ \lambda }g(x)dx=g(\lambda) $$