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Hier stehe total auf dem Schlauch  :)

Bitte mit Rechenweg

Vielen Dank

ImmaiBild Mathematik

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Die geometrische Reihe 1 +q + q2 + q3 + ..... gehorcht ja für |q| < 1 der Summenformel

$$  \sum_{n=0}^{\infty}{q^n} = \frac { 1 }{ 1-q } $$

also ist für q = -x2  die gesuchte Pot.reihe

$$  \sum_{n=0}^{\infty}{(-x^2)^n} = \frac { 1 }{ 1+x^2 } $$ 

oder auch

$$  \sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n*x^{2n}} = \frac { 1 }{ 1+x^2 } $$

bei b) zeigst du nur (z.B. mit Wurzelkriterium) Konvergenzradius = 1.

c)

$$ \frac { d}{ dx} (arctan(x) - F(x)) $$
$$ = \frac { 1 }{ 1+x^2  }- F '(x) $$
und F ' (x) bestimmst du durch gliedweises Ableiten
der Reihe aus b) und setze dann für
$$\frac { 1 }{ 1+x^2  } $$
die Reihe aus a) ein und du siehst:
$$ = \frac { 1 }{ 1+x^2  }- F '(x) = 0 $$

von 152 k

Kannst du bitte auch fie d zeigen?

erst mal arctan(1/√3)  =   x

dann ist

            tan(x) =  (1/√3)  = sin(x) / cos(x) 

                   (  1/2 )   /  (  (√3)/2  )  = sin(x) / cos(x) 

           nun ist ja sin(pi/6)=1/2 und cos(pi/6)=(√3)/2 

also x = pi/6 und damit  w=(√3)*pi/6.

  $$ w= \sqrt { 3 }*arctan(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } })$$
wegen c mit$$ x=1/\sqrt { 3 }$$
$$ w= \sqrt { 3 }*\sum_{k=0}^{\infty}{(-1)^k*\frac { {(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } })}^{2k+1}}{ 2k+1 } }$$
$$ w= \sqrt { 3 }*\sum_{k=0}^{\infty}{(-1)^k*\frac { \frac { 1 }{ \sqrt { 3 } }{(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } })}^{2k}}{ 2k+1 } }$$
1/wurzel(3) aus der Summe ziehen
$$ w= \sqrt { 3 }*\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } }\sum_{k=0}^{\infty}{(-1)^k*\frac { {(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } })}^{2k}}{ 2k+1 } }$$
$$ w= \sum_{k=0}^{\infty}{(-1)^k*\frac { {(\frac { 1 }{ 3 })}^{k}}{ 2k+1 } }$$
$$ w= \sum_{k=0}^{\infty}{(-1)^k*\frac { { 3 }^{-k}}{ 2k+1 } }$$

q.e.d.

1.9.5 kenne ich nicht. Vielleicht: Abschätzung mittels Satz von Taylor ???

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