Beweisen Sie, dass die Funktion g : ℝ↦ℝ, x → xf(x) stetig ist.

Question

Wir definieren die Funktion f durch

f: ℝ↦ℝ, x↦ { sin(1/x), falls x≠0
                     0, falls x=0

(a) Beweisen Sie, dass die Funktion g : ℝ↦ℝ,  x → xf(x) stetig ist.

(b) Skizzieren Sie den Graphen von f.

(c) Skizzieren Sie den Graphen von g.

Answer 1

Hallo Certi,

a)

Zu zeigen ist  lim_x→0 [ x * sin(1/x)  ]  = 0 = g(0) 

wegen  x → 0   und   -1 ≤ sin(1/x) ≤ 1  ist das richtig.

b)  

Der Graph oszilliert mit der Amplitude 1 und die Frequenz nimmt bei Annäherung an x=0  zu.

c)

Der Graph oszilliert und die Frequenz nimmt dabei bei Annäherung an x=0  zu.

Die Amplitude nimmt bei Annäherung an x=0 ab.

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang!

Wie genau bist du darauf gekommen, dass gezeigt werden muss, dass x*sin(1/X) = 0 ist wenn x gegen 0 konvergiert?

weil f(0) = 0 ist, ist g(0) auch = 0 ?

und woher weißt du das  -1 ≤ sin(1/x) ≤ 1 ?

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> weil f(0) = 0 ist, ist g(0) auch = 0 ? 

Ja, weil 0 * 0 = 0 gilt :-)

> woher weißt du dass  -1 ≤ sin(1/x) ≤ 1 ?   

 sin( "irgendetwas in ℝ Definiertes" ) liegt immer in [ -1 ; 1 ]   

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Danke für die schnelle antwort!

Macht es dann sinn die stetigkeit mit dem folgekriterium zu beweisen oder eher mit dem links und rechtsseitigen grenzwerten ?

Ich denke ein epsilon delta beweis wäre hier doch sehr umständlich oder?

( sorry ich tu mich mit den stetigkeits beweisen noch etwas schwer und weiss nie genau welche art von stetigkeitsbeweis ich anwenden soll, bzw. woran ich das erkenne)

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Der Nachweis  lim_x→xo f(x)  =  f(x₀)   ist wohl meist am einfachsten zu handhaben.

(ggf. mit links- und rechtsseitigem GW)