Vollständige Induktion n-te Ableitung von x^n

Question

Die Aufgabe lautet:

Beweise per vollständiger Induktion für alle \( n \in \mathbb{N}: \) Die \( n \) -te Ableitung von
$$ f_{n}(x)=x^{n} $$
gegeben ist durch:
$$ f^{(n)}(x)=n ! $$

Irgendwie komm ich nicht so klar.

Induktionsanfang: n=1

f₁(x)=x¹

f⁽¹⁾(x)=1 * x^1-1=1*x⁰=1!

Damit ist die Aussage wahr.

InduktionsVoraussetzung(IV):

Es gibt ein n aus N, sodass

f_n(x)= xⁿ.

f⁽ⁿ⁾(x)=n!

Induktionsschritt: n-> n+1

f_n+1(x)= x^{n+1}

f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=f⁽ⁿ⁾(x)*f⁽¹⁾(x)=n!*1!

An der Stelle scheitere ich...

 

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Wie lautet die n-te Ableitung der Funktion f(x)=x^n?

Stichworte: ableitung,n-te,beweis

Wie lautet die n-te Ableitung der Funktion f(x)=x^n? Ist das f^n(x)=n!*x?

Answer 1

Hallo Sonnenblume,

Behauptung:

A(n):  Für alle n∈ℕ gilt:    f(x) = xⁿ   →   f⁽ⁿ⁾ (x) = n!         [ = Induktionsvoraussetzung IV ]

Beweis durch vollständige Induktion:

A(1):   f(x) = x¹   ,  f¹ (x) = f '(x) = 1 = 1!   ist richtig

A(n)  →  A(n+1):  

f(x) = xⁿ⁺¹  

f⁽ⁿ⁺¹⁾ (x)  =  [ f '(x) ]⁽ⁿ⁾  =_Potenzregel  [ (n+1) · xⁿ ]⁽ⁿ⁾   =_Faktorregel   (n+1) · [ xⁿ ]⁽ⁿ⁾ 

                                  =_IV  (n+1) · n!  =  (n+1)! 

Gruß Wolfgang