Ganzrationale Funktion 3. Grades bestimmen ohne TI

Question

Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion dritten Grades berührt die x-Achse im Ursprung. Der Punkt H(1I1) ist der Hochpunkt des Schaubilds. Bestimme eine Funktionsgleichung.

Ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen!

Answer 1

Eine ganzrationale Funktion 3. Grades ist in der Form $$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$ Da das Schaubild die x-Achse im Ursprung berührt haben wir dass f(0)=0 und f'(0)=0. Da der Punkt H(1|1) der Hochpunkt des Schaubilds ist, haben wir dass f(1)=1 und f'(1)=0 und f''(1)<0.

Answer 2

Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion dritten Grades
berührt die x-Achse im Ursprung.
Der Punkt H(1I1) ist der Hochpunkt des Schaubilds.
Bestimme eine Funktionsgleichung.

f ( x ) = a * x^3 + b*x^2 + c * x + d
f ´( x )  = 3 * a * x^2 + 2 * b * x + c

f ( 0 ) = 0
f ´( 0 ) = 0
f ( 1 ) = 1
f ´( 1 ) = 0

d = 0
c = 0
a + b + c + d = 1
3a + 2b + c = 0

f(x) = -2·x^3 + 3·x^2

Das Ergebnis wurde graphisch überprüft.

Answer 3

Ansatz:

$$ f(x)=ax^2(x-b) \\f'(x)=x(3x-2b)=0\\3-2b=0\\b=3/2\\f(1)=a*(-1/2)=1\\a=-2\\f(x)=-2x^2(x-3/2)$$