Ganzrationale Funktion 3.Grades ermitteln

Question

Aufgabe:

Ermitteln Sie die ganzrationale Funktion dritten Grades mit folgenden Bedingungen.

1) Der Graph hat in P(1/4) einen Extrempunkt und in Q(0/2) einen Wendepunkt.

2) Die Funktion hat in der Nullstelle x=3 die Steigung 6 und x=0 als doppelte Nullstelle.

3) Der Graph schneidet die y-Achse bei y=2 mit der Steigung 1 und hat den Tiefpunkt A(1/0).

4) Der Graph ist zu O(0/0) symmetrisch und hat bei x=2 die Tangente: y=8 - 4x.

Problem/Ansatz:

Sitze seit gestern an dieser Aufgabe und würde mich freuen, wenn ihr mir helfen könnt. Ich bedanke mich im Voraus.

Answer 1

Zu 2) Ansatz (wegen der Nullstellen): f(x)=ax²(x-3).

f '(x)=3ax²-6ax.

f '(3)=6:

6=27a-18a; a=2/3.

f(x)=2/3·x²(x-3).

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort :)

Answer 2

Hallo,

die allgemeine Form einer Funktion 3. Grades:

$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\\ f'(x)=3ax^2+2bx+c\\ f''(x) = 6ax+2b$$

in P(1/4) einen Extrempunkt

Daraus lassen sich zwei Bedingungen ableiten:

$$f(1)=4\Rightarrow a + b + c + d = 4\\ f'(1)=0\Rightarrow 3a+2b+c=0$$

Q(0/2) einen Wendepunkt

hieraus auch:

$$f(0)=2\Rightarrow d=2\\ f''(0)=0\Rightarrow b = 0$$

Also haben wir:

$$f(x)=ax^3+cx+2\\ f'(x)=3ax^2+c\\ f''(x)=6ax$$

und

$$a+c+2=4\\ 3a+c=0 $$

⇒ a = -1, c = 3

Also lautet die Funktionsgleichung

\(f(x)=-x^3+3x+2\)

Falls du bei den anderen Aufgaben Hilfe benötigst, melde dich.

Gruß, Silvia

Comments

Dankeschön für die Hilfe! :)

Es wäre nett wenn Sie mir noch die Aufgaben 1. und 2. beantworten könnten.

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Aufgabe 1. habe ich beantwortet, Aufgabe 2. Roland

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Ups mein Fehler ich meinte die Aufgaben 3. und 4.

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Es würde dir mehr helfen, wenn du die Aufgaben erst einmal selber versuchst zu lösen und uns dann sagst, wo deine Probleme sind.

folgende Ansätze zu 3.

f(0) = 2, f'(0) = 1, f(1) = 0 und f'(1) = 0

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Mein Problem liegt im Einsetzungsverfahren, ich weiß nicht wo ich welche Zahl einsetzten muss, da ich diese Aufgaben von zu Hause aus bearbeite und bis zu denn Osterferien nicht in die Schule kann, bin ich leicht verzweifelt.

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Du meinst, du kannst f(0) = 2 nicht in die allgemeine Form der Geradengleichung einsetzen?

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Nein das kann ich, aber nach dem ich das gemacht habe, weiß ich net wie man a, b, d und c herausfindet :/

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$$f(0) = 2\Rightarrow d=2\\ f'(0)=1\Rightarrow c=1\\ f(x)=ax^3+bx^2+x+2\\ f'(x)=3ax^2+2bx+1\\ $$

Jetzt hast du nur noch zwei Unbekannte, die du mit f(1) = 0 und f'(1) = 0 ermitteln kannst.

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Dankee für die Hilfe:)

Das hat mir sehr geholfen.

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Das freut mich. Dann schaffst du Nr. 4 sicher jetzt alleine. Hinweis: Punktsymmetrie zum Ursprung bedeutet, es gibt nur Varibalen mit ungeraden Exponenten.

Also: \(f(x)=ax^3+bx+c\)

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Ich habe bei Nr. 3 als Lösung: f(x)=5x^3-8x^2+x+2 und bei Nr.4 f(x)= -1/2x^3+2x, stimmt es dann so?

Danke nochmals :))

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Perfekt, alles richtig!