Erzeugnis überprüfen (lineare Algebra)

Question

ich habe folgende Aufgabe vor mir: Sei V der R⁴
Sei U = <(1,0,1,1), (-1,1,0,0)> und W = <(1,0,1,0), (1,1,1,1)>. Weiter sei Y = <(1,2,0,1),(1,0,2,2),(3,2,4,5)>
a) Überprüfen Sie, ob U ⊕ W = Vb) Bestimmen Sie ein Komplement zu U in V.
Kann mir jemand behilflich sein, und mir die Ansätze verraten?

Answer 1

Sei U = <(1,0,1,1), (-1,1,0,0)> und W = <(1,0,1,0), (1,1,1,1)>. Weiter sei Y = <(1,2,0,1),(1,0,2,2),(3,2,4,5)>
a) Überprüfen Sie, ob U ⊕ W = V

U und W haben beide dim = 2 und dim (R⁴) = 4

also musst du nur prüfen, ob die vier Vektoren

(1,0,1,1), (-1,1,0,0),(1,0,1,0), (1,1,1,1) lin. unabh. sind.

Das sind sie, also erzeugen sie zusammen den R⁴, weil

die Summe der Dimensionen stimmt ist also

ist die Summe direkt.

Also ist auch W das Komplement von U in V.