Bestimme die Ortskurve aller Extrempunkte

Question

Heey, ich komme da nicht weiter: 

Aufgabe: Bestimme die Ortskurve aller Extrempunkte 

f(x)= x^2 +t*x +3 

f´(x) = 2x+t

f´´(x)= 2

Erstmal bestimme ich die Extrempunkte 

f´(x) = 0 -> x= -1/2*t -----> also Hochpunkt 

f´´(-1/2*t) = 2 f´´(x)ungleich Null 

dann setzte ich in f(x) die -1/2*t und bekomme: 3-1/4t^2 

Also ist der Hochpunkt (-1/2*t / 3-1/4t^2 ) 

Wäre cool wenn mir jemand erklären würde wie ich weitermachen soll und warum :) 

Answer 1

Hallo taghrid,

f(x)= x² +t*x +3  hat jeweils nur einen Tiefpunkt  (nach oben geöffnete Parabel) 

 T(-1/2*t / 3-1/4t² )  ist dann richtig. 

Für die Punkte (x|y) der Ortskurve dieser Tiefpunkte gilt:

x = -1/2 t  →  t = - 2x

y = 3 -1/4 t²  = 3 - 1/4 * (-2x)²  =  3 - x^2  

Beispiele für t = 0, 2 und -3 :

Alle Tiefpunkte der Funktionen der Form f(x) liegen also auf der errechneten Ortskurve.

Gruß Wolfgang

Comments

Ah sorry war ein Fehler - natürlich ist das ein Tiefpunkt :D 

Danke dir :) 

Answer 2

Erstmal bestimme ich die Extrempunkte 

f´(x) = 0 -> x= -1/2*t -----> also Kandidat für Extrempunkt 

f´´(-1/2*t) = 2 f´´(x)ungleich Null  sogar > 0 , also TIEFPUNKT!

dann setzte ich in f(x) die -1/2*t und bekomme: 3-1/4t² 

Also ist der Tiefpunkt (-1/2*t / 3-1/4t² )  und zwar für jedes t ein anderer,

aber   x = -1/2*t /     und   y  = 3-1/4t²

gibt    t = -2x      einsetzen bei y=... gibt   y = 3 - (1/4) * 4x² 

==>   y = 3 - x²  ist die Gleichung der Ortskurve.

Comments

Ah sorry war ein Fehler - natürlich ist das ein Tiefpunkt :D 

Danke dir :)