K-lineare Abbildungen zwischen den k-Vektorräumen

Question

Aufgabenstellung: Sei ϕ eine K-lineare Abbildung zwischen den K-Vektorräumen V und W. Zeigen Sie, dass ϕ genau dann injektiv ist, wenn ∃g : W → V : g ◦ ϕ = idv gilt

Ich bin mir bei der Lösung nicht sicher:

(I) φ ist injektiv=>(II)  ∃g:W→V:g∘φ= (id)(tiefgestellt: v)
(II) => (I)
Bew.: 1. Sei g:W→V,g(W)= {(v mit φ(v),falls w ∈Bild(φ)
v',falls w∉Bild(φ)) }
Und sei v ∈ V. Dann gilt (I) => ∃! w∈W mit φ(v)= w => g ∘ φ(v) = g(w)  = v = (id)(tiefgestellt: v) (v)

Also gilt (I) => (II)

Würde mich über Hilfe und Feedback freuen, danke.

Answer 1

Hallo,

Deine Ausführungen kann ich nicht nachvollziehen.

Man kann so argumentieren:

Wenn ein solches g existiert dann:

Sei $x,y \in V$ mit $\phi(x)=\phi(y)$, dann folgt:

$$x=g \circ \phi(x)=g(\phi(x))=g(\phi(y))=g \circ \phi(y)=y$$

Also ist $\phi$ injektiv.

Wenn $\phi$ injektiv ist, dann definiere g durch

$$g(w):=x \iff \phi^{-1}(\{w\})=x$$

$$g(w):=0 \iff \phi^{-1}(\{w\})=\emptyset$$

Andere Fälle treten wegen der Injektivität nicht auf.

ACHTUNG: Ich könnte mir vorstellen, dass Du uns unterschlagen hast, das g auch linear sein soll?

Gruß Mathhilf