Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen. f(x,y,z):= 5x + y - 3z.

Question

Hallo könnte mur jemand erklärend folgende Aufgabe vorrechnen ? Danke

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Has du eigene Ideen und Ansätze?

Ich denke das sollge sich mit etwas Rechenaufwand mittels Lagrange lösen lassen.

Hier zunächst eine Lösung von Wolframalpha

https://www.wolframalpha.com/input/?i=optimize+5x%2By-3z+with+x%2By%2Bz%3D0,x%5E2%2By%5E2%2Bz%5E2%3D1

Answer 1

Kannst es auch etwas einfacher haben, indem du die erste NB nach z auslöst   z = -x - y und überall einsetzt

Dann hast du f( x,y) = 8x + 4y  und NB  2x² + 2y² + 2xy - 1 = 0

Dann mit Lagrange

L(x,y,k ) = 8x + 4y   + k*(2x² + 2y² + 2xy - 1 )

L_x =   8+ 4kx +  2ky 
L_y =   4+ 4ky +  2kx  beides = 0 gibt

I        8+ 4kx +  2ky  = 0
II     4+ 4kx    +  8ky = 0

----------------------------

                       6ky = 0   für k=0 würden I und II nicht gelten, also    y = 0

Dann mit der NB        2x² = 1        ==>    x = ±1 /√2    und   mit    z = -x - y  dann das zugehörige z.

Ob min oder max geht dann über die Hessematrix.

 

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Von welcher funktion bildet man die Hessematrix?

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siehe dort:

https://de.wikipedia.org/wiki/Ger%C3%A4nderte_Hesse-Matrix

Das wäre bei dir

0                  4x+2y       4y+2x

4x+2y          4k               2k

4y+2x          2k               4k

also im Falle x=1/√2   und dann ist ja k= -2√2

0              2√2              √2

2√2           -8√2           -4√2

√2            -4√2           -8√2

und die det davon ist 48√2 also positiv,

Damit ein Max bei ( 1/√2  ; 0 ; -1/√2  )

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Verstehe immer noch nicht wie man auf die Hessematrix kommt...

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Und was wäre mein k für x=-1/√2

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Müsste für   4x+2y nicht 4/√2

Ubf für   4y+2x nicht 2/√2 rauskommen??

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ist die hessematrix von f nicht eine nullamatrix?

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Müsste für   4x+2y nicht 4/√2  = 2*2/√2 = 2√2

Ubf für   4y+2x nicht 2/√2 = √2  rauskommen??

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Also wäre meine det=96/√2 auch richtig. Dankeschön

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Genau  96/√2  = 48*2/√2 = 48√2