Flächeninhalt zwischen einer Funktion, Y-Achse und einer Geraden

Question

Hi, wie berechnet man die Fläche zwischen einer Funktion, y-achse und einer Geraden??

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Folgende Aufgabe konnte ich nicht lösen. Ich habe die Skizze gemacht. Weiter ging es nicht.

Gegeben sei die Fläche, die von der Kurve mit der Gleichung y = x² (x>0), der y-Achse und der Geraden mit der Gleichung y = b² begrenzt wird. Wie heißt die Gleichung der Geraden, welche die beschriebene Fläche halbiert und parallel zur x-Achse verläuft? 

Danke.

Answer 1

Am einfachsten ist es du arbeitest mit der
Umkehrfunktion

Fläche insgesamt
[ 2/3 * x^{3/2} ] zwischen 0 und b^2
2 / 3 * b^3

linker Flächenanteil : die Hälfte davon
[ 2/3 * x^3 ] zwischen 0 und x =  [ 2 / 3 * b^3 ] / 2
2/3 * x^3 =  [ 2 / 3 * b^3 ] / 2
x^3=  b^3 / 2

x =  ( b^3 / 2 ) ^{1/3}

Auf die Ausgangsfrage bezogen

y =  ( b^3 / 2 ) ^{1/3}

Comments

Das ist eine elegante Lösung! Danke dir :)

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Mein Rechenweg wurde etwas in Eile
hingeschrieben weil ich fernsehen
schauen wollte.

Ein kleiner Fehler muß noch korrigiert werden
linker Flächenanteil : die Hälfte davon
[ 2/3 * x^{3/2} ] zwischen 0 und x  ] =  [ 2 / 3 * b³ ] / 2
2/3 * x^{3/2} =  [ 2 / 3 * b³ ] / 2
x^{3/2}=  b³ / 2

x =  ( b³ / 2 ) ^2/3
x =  b^2 / 2 ^2/3

Auf die Ausgangsfrage bezogen

y =  b^2 / 2 ^2/3

Answer 2

Die zu halbierenede Fläche berechnet sich als ₀∫^b(x²)dx=b³/3. Die Hälfte davon b³/6. Gesucht ist eine Stelle v, sodass ₀∫^v(x²)dx=b³/6 oder v³/3=b³/6. dann ist v=b/³√2 und die Parallele zur x-Achse hat die Gleichung y=v²=(b/³√2)²=b²/(2^2/3).

Comments

Danke erstmals :). Warum nimmst du für ₀∫^b(x²)dx=b³/3 b als Obergrenze und nicht b^2? 

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Die Grenzen eines Integrals liegen immer auf der x-Achse. Eine Parallele zur x-Achse ist dann y=v², wenn die Stelle auf der x-Achse v war.