Gegeben seien die Räume V = R 2 , W = R 3 . Welche der folgenden Abbildungen sind linear?

Question

Von weìß ich das eine abbildung linear ist und wie würde das konkret bei dieser Aufgabe gehen??

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EDIT: Bitte Text auch als Text eingeben usw. https://www.mathelounge.de/schreibregeln 

Answer 1

Du musst prüfen, ob :

 f(v + w) = f(v) + f(w) 

und

 f(av) = a f(v) 

gilt.

also : 

f(av + w) = a f(v) +  f(w)    

gilt.

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Ich habe es leider noch nicht verstanden..

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Beispiel für a), einfach prüfen, ob das zweite Kriterium gilt: 

a * (v1 v2) = (av1 av2) . 

Jetzt bilden wir das gemäß a) ab: 

f (av1 av2) -> (av2 -1  2-av1 0)   ≠   f(v1 v2) * a = (v2a - a    2a - v1a   0)

einfach gesagt: 

wenn du einen Vektor mit a multiplizierst und dann abbildest ist das nicht gleich dem abgebildeten Vektor mit a multipliziert

f ist also schon mal nicht linear. 

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Verstehe nicht wie du darauf kommst: f (av1 av2) -> (av2 -1 2-av1 0) 

Würde das ausreichen , wenn ich nur a * (v1 v2) = (av1 av2) bei b) und c) untersuchen würde?

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Es wird einfach der Vektor abgebildet. Schau dir noch mal, an wie der Vektor für f in a) abgebildet wird.

bei b) wird rauskommen, dass g linear ist, deshalb wirst du da beide Kriterien prüfen müssen. bei c) musst du nur h(v1 v2) + h(v3 v4) prüfen, h ist nicht linear. 

Answer 2

Du musst die Linearitätsbedingungen überprüfen. Dabei sollte herauskommen, dass c nicht linear ist (wegen dem Quadrat in der zweiten Komponente) und a und b jeweils linear sind.

Hilft das?

EDIT: Werbung entfernt. 

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Leider nein.