Ja - schaue Dir den Winkel \(\frac{5}{8}\pi\) im Einheitskreis an:
Die rote Strecke ist der Cosinus. Und der zeigt vom Ursprung aus gesehen nach links - ist also negativ. Die Wurzelfunktion liefert lt. Definition immer einen positiven Wert zurück - daher müßte der Halbwinkelsatz eigentlich korrekt heißen:
$$\left| \cos{\left( \frac{x}{2} \right)} \right| =\sqrt{\frac{1 + \cos{\left( x \right)}}{2}}$$
Der Halbwinkelsdatz folgt ja aus dem Additionstheorem
$$\cos(x+y) = \cos(x) \cdot \cos(y) - \sin(x) \cdot \sin(y)$$
$$\Rightarrow \space \cos(x) = \cos^2(\frac{x}{2}) - \sin^2(\frac{x}{2})= \cos^2(\frac{x}{2}) - (1- \cos^2(\frac{x}{2}))$$
$$=2 \cos^2(\frac{x}{2}) - 1$$ $$\Rightarrow \space \cos^2(\frac{x}{2}) = \frac{\cos(x)+1}{2}$$
und beim anschließenden Ziehen der Wurzel, wäre der negative Wert auch eine Lösung dieser Gleichung.
