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Was wähle ich hier als Substitution?

y´ = x - y
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Bei einer Differentialgleichung der Form

y' = f(x, y)

ist die einfachste Substitution (nicht immer die zielführende) einfach u = f(x, y) = x+y zu wählen.

Dann folgt:

u' = f'(x, y)

u = y'


u' = f'(x, y) = 1 - y' = 1 - u

u' = 1 - u

Das lässt sich jetzt mit Trennung der Veränderlichen lösen:
Es handelt sich um eine Differentialgleichung der Form

u' = f(u)*g(x)

mit f(u) = 1-u und g(x) = 1 also den Definitionsbereichen X=J=ℝ.

Mit einer Randbedingung y(x0)=y0 erhält man dann die Spezielle Lösung.
Ich weiß nicht, in wieweit ihr das Thema Differentialgleichungen mathematisch korrekt angegangen seid. Wenn man nicht ganz so stringent ist, könnt man am Ende auch

y(x) = c1*e-x -1 + x

schreiben, da der komplette Vorfaktor aus Konstanten besteht.

Mathematisch korrekt ist aber die obere Lösung.

Beim Logarithmus können übrigens die Betragsstriche weggelassen werden, weil f(u) eine Unstetigkeitsstelle bei u=1 besitzt: wenn also 1-u0 bereits kleiner als 0 war, dann kann 1-u niemals größer als 0 werden, weil dafür die Unstetigkeitsstelle überschritten werden müsste. Beide haben also dasselbe Vorzeichen, weshalb der Betrag einfach weggelassen werden kann.

Falls die Anfangsbedingung y(x0) = x0 lautet, ist die Lösung übrigens die konstante Funktion

y(x) = x0

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