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bei der Aufgabe komme ich leider überhaupt nicht weiter.

 

(i) Bestimmen Sie alle reellen Zahlen x mit 2Ιxl ≤ x2-3

(ii) Bestimmen Sie, für welche Paare (a,x) von reellen Zahlen die Äquivalenz

x (x-2a2) > 0⇔ lx-a2l > a2 erfüllt ist.

 

Ich hoffe das kann mir jemand erklären.

Danke

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(i) Bestimmen Sie alle reellen Zahlen x mit 2Ιxl <= x^2-3

Terme sind Y-Achsensymmetrisch und damit darf ich das für alle x >= 0 vereinfachen

2x <= x^2 - 3

x^2 - 2x - 3 >= 0

x >= 3

Damit ist x >= 3 oder x <= -3

 

(ii) Bestimmen Sie, für welche Paare (a,x) von reellen Zahlen die Äquivalenz

x (x - 2a^2) > 0⇔ lx-a^2l > a^2 erfüllt ist.

x^2 - 2xa^2 > 0

x^2 - 2xa^2 + a^4 > a^4

(x - a^2)^2 > a^4

|x - a^2| > a^2

Die Äquivalenz sollte also für alle x, a erfüllt sein. Oder sehe ich da jetzt etwas falsch? Nur ist die Ungleichung nicht für alle x, a erfüllt. Aber das war ja nicht gefragt oder?

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Danke erst mal, für deine Hilfe.

Zu (i) kann man also schreiben -3 ≥ x ≥ 3??

Zu (ii) Also gefragt ist nur, für welche Paare(a,x) die Äquivalent erfüllt ist, aber müssen die Ungleichungen nicht trotzdem aufgehen oder spielt das keine Rolle, wenn das nicht gefragt ist?

Nein. Das eine Aquivalenz erfüllt ist muss nicht heißen das die ungleichung erfüllt ist.

Wenn ich also testen soll ob  lx-a^2l > a^2 erfüllt ist, kann ich auch testen ob x(x - 2a^2) > 0 erfüllt ist. Der zweite Audruck ist evt. etwas schneller zu berechnen.

Ich hätte noch eine Frage zu dem, was du zu (ii) geschrieben hast. Vielleicht stehe ich auch gerade nur auf dem Schlauch, aber wie kommt die a^4 auf einmal zu stande?
Die habe ich einfach auf beiden Seiten addiert. Das ist dann ja eine Ergänzung damit ich eine binomische Formel bekomme.
Was mir noch aufgefallen ist, es wird ja gefragt, für welche Paare (a,x) das gilt, kann man das dann so allgemein machen oder werden da auch Zahlen verlangt, wie bei (i)??
Ich sehe das so das die Aquivalenz für alle Zahlen gilt, denn wir haben sie ja durch Äquivalenzumformung erhalten.

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